Chat with us, powered by LiveChat Condizione necessaria e sufficiente

Condizione necessaria e sufficiente: teoria ed esercizi di logica

condizione necessaria e sufficiente

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Cosa significa esprimere una condizione necessaria e sufficiente? Capire la nozione di condizione necessaria e sufficiente, condizione necessaria e condizione sufficiente è utile per rispondere correttamente ai quiz di logica presenti nei concorsi, ad esempio i test di medicina e odontoiatria, veterinaria e professioni sanitarie.

Inoltre, è importante per imparare a ragionare e quindi a studiare efficacemente tutte le materie. Pertanto, se vuoi capire questa nozione, leggi la spiegazione sulla condizione necessaria e sufficiente e sul condizionale. Per comprenderla si può partire da due concetti, quello di condizione necessaria e di condizione sufficiente.

In più, guarda la videolezione sulla condizione necessaria e sufficiente con esempi ed esercizi svolti dalla nostra docente di logica.

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Il condizionale

Il condizionale è un operatore logico che unisce due enunciati stabilendo tra di essi una relazione di implicazione. 

Il simbolo del condizionale è →, mentre un enunciato condizionale si formalizza come A → B, dove A è l’antecedente che implica B, il conseguente.

Facciamo degli esempi di enunciati condizionali:

  • Se Elena è di buon umore, (allora) va al cinema
  • Elena è di buon umore solo se va al cinema

Cosa hanno in comune questi enunciati? Sono tutti a loro volta formati da due enunciati, “Elena è di buon umore” (chiamiamolo A)  e “Elena va al cinema” (chiamiamolo B), uniti tra di loro da “se…allora” e “solo se”.

Queste espressioni sono la controparte nel linguaggio ordinario del condizionale come operatore logico, che collega i due enunciati A e B in uno solo, cioè A→B. 

Ma in cosa consiste la relazione di implicazione che viene così stabilita dal condizionale?  Per capirlo, è importante chiarire i concetti di condizione sufficiente e condizione necessaria.

Condizione sufficiente

Cosa significa esprimere una condizione sufficiente? Un enunciato esprime una condizione sufficiente per un altro enunciato quando la verità del primo garantisce con certezza la verità del secondo.

In un enunciato del tipo A→B, A costituisce una condizione sufficiente per B: se A è vero (Elena è di buon umore), ciò basta a rendere sicuramente vero B (sicuramente andrà al cinema).

Attenzione! La verità della condizione sufficiente (A) ci dà con certezza la verità dell’enunciato implicato (B), ma ciò non vuol dire che la falsità di A (cioè la negazione di A che scriviamo ¬A) ci garantisca anche la falsità di B (¬B). A potrebbe essere falso e B vero (Elena potrebbe essere di cattivo umore ma andare comunque al cinema).

Un esempio di condizione sufficiente è: è sufficiente che un numero sia divisibile per 6 per essere pari (se n è divisibile per 6, n è pari), ma non è il caso che se un numero non è divisibile per 6 allora non è pari.

La condizione sufficiente espressa attraverso gli operatori logici diventa:

A è condizione sufficiente per B se A ⇒ B ma non necessariamente ¬A→¬B.

Condizione necessaria

Quando una condizione è necessaria? Un enunciato esprime una condizione necessaria per un altro enunciato quando il primo deve essere soddisfatto affinché lo sia anche il secondo.

Detto in altri termini, se viene a mancare una condizione necessaria per la verità di un enunciato, tale enunciato sarà certamente falso.

In un enunciato del tipo A→B, B costituisce una condizione necessaria per A: se B è falso (Elena non va al cinema), vuol dire che sicuramente anche A è falso (Elena non può essere di buon umore).

Attenzione! La falsità della condizione necessaria (B) ci dà con sicurezza la falsità dell’enunciato da cui è implicato (A), ma ciò non vuol dire che la verità di B garantisca anche la verità di A (Elena va comunque al cinema, anche se non è di buon umore).

Un esempio di condizione necessaria è: è necessario che un numero sia dispari per essere un numero primo maggiore di 2. Ma non basta che un numero sia dispari per essere anche un numero primo.

La condizione necessaria espressa attraverso gli operatori logici diventa:

B è condizione necessaria per A se A→B (o anche ¬B→¬A), ma non necessariamente B→A.

Differenza tra condizione sufficiente e condizione necessaria 

Quindi, qual è la differenza tra condizione sufficiente e necessaria? Tale differenza dovrebbe essere chiara in base a quanto detto fino a qua:

  • un enunciato A è condizione sufficiente (e non necessaria) per un enunciato B quando basta che sussista il fatto espresso da A affinché B sia vero con certezza, ma non è il caso che se A è falso lo sarà per forza anche B. Un computer funzionante ci garantisce che l’alimentatore sia funzionante, ma un computer non funzionante non implica che l’alimentatore non funzioni;
  • un enunciato B è condizione è necessaria (e non sufficiente) per un enunciato A, quando la falsità di B garantisce la falsità di A, ma non è il caso che se B è vero lo sarà di sicuro anche A. Ad esempio, un alimentatore funzionante è necessario affinché anche il computer funzioni, ma non ci garantisce che il computer funzioni.

Condizione necessaria e sufficiente

Cosa significa esprimere una condizione necessaria e sufficiente? Due enunciati esprimono l’uno per l’altro una condizione necessaria e sufficiente quando se uno è vero l’altro è vero e viceversa, e se uno è falso l’altro è falso e viceversa.

Dunque, i due enunciati saranno o entrambi veri o entrambi falsi, non potranno cioè avere valori di verità diversi. 

Un enunciato esprime la relazione di condizione necessaria e sufficiente quando i due enunciati collegati tra di loro si implicano a vicenda, collegati dall’espressione “se e solo se”.

Un esempio di condizione necessaria e sufficiente è: “Un triangolo è equilatero se e solo se ha tutti i lati uguali”.

La condizione necessaria e sufficiente espressa attraverso gli operatori logici diventa:

A e B sono condizione necessaria e sufficiente l’uno per l’altro se A ↔ B.

Condizione necessaria e condizione sufficiente: le regole di inferenza

Quando si ha a che fare con enunciati condizionali, ci sono due regole di inferenza valide, da non confondere con altrettanti errori comuni:

  • il Modus Ponens, che non va confuso con la cosiddetta affermazione del conseguente;
  • il Modus Tollens, da non confondere con la negazione dell’antecedente.

Modus Ponens

Il Modus Ponens è un a regola di inferenza che permette di dedurre da un enunciato condizionale e dal suo antecedente, il conseguente.

Se cioè assumiamo la verità della relazione di implicazione tra un enunciato A (“Elena è di buon umore”) e un enunciato B (“Elena va al cinema”), assumendo cioè che A→B, e se sappiamo anche che A è vera, possiamo dedurre con certezza che anche B è vera poiché A è condizione sufficiente di B.

Attenzione! Non si deve confondere il Modus Ponens con un errore comune: la affermazione del conseguente.

Data l’implicazione A→B, è corretto dedurre dal fatto che Elena è di buon umore il fatto che andrà al cinema, ma se sappiamo solo che Elena va al cinema (affermiamo il conseguente) questo non ci basta per dedurre con certezza che Elena è anche di buon umore (per affermare l’antecedente).

Modus Tollens

Anche il Modus Tollens è una regola di inferenza valida. Essa permette di dedurre che dalla negazione del conseguente di un enunciato condizionale ne consegue la negazione dell’antecedente.

Se cioè assumiamo la verità della relazione di implicazione tra un enunciato A (“Elena è di buon umore”) e un enunciato B (“Elena va al cinema”), assumendo cioè che A→B, e se sappiamo anche che B è falsa, possiamo dedurre con certezza che anche A è falsa, poiché B è condizione necessaria di A.

Attenzione! Non si deve confondere il Modus Tollens con un errore comune:  la negazione dell’antecedente.

Data l’implicazione A→B, è corretto dedurre dal fatto che Elena non va al cinema se non è nemmeno di buon umore, ma se sappiamo solo che Elena non è di buon umore (neghiamo l’antecedente) questo non ci basta per dedurre con certezza che Elena non è andata al cinema (per negare il conseguente).

Esercizi condizione necessaria e sufficiente

Come risolvere i test sulla condizione necessaria e sufficiente? Vediamo un esempio di quiz di logica sulla condizione necessaria e sufficiente.

Secondo alcuni studenti, per passare l’esame di matematica basta studiare dagli appunti presi in classe. Se questo è vero, cosa si può affermare con certezza?

  1. Se non studio dagli appunti presi in classe, sicuramente non passo l’esame di matematica.
  2. Se uno studente passa l’esame di matematica, vuol dire che ha studiato dagli appunti presi in classe.
  3. Chi non ha passato l’esame di matematica non ha studiato dagli appunti presi in classe.
  4. Chi ha studiato dagli appunti presi in classe passerà l’esame di matematica.

Risposta: studiare dagli appunti presi in classe è condizione sufficiente per passare l’esame. Chiamiamo “studiare dagli appunti presi in classe” A e “passare l’esame” B. Quindi in termini logici, A implica B, ossia A → B.

Le risposte giuste sono due, C e D:

  • nella risposta C stiamo negando il conseguente “non aver passato l’esame di matematica” per negare l’antecedente “non aver studiato dagli appunti”. Questa è la regola del Modus Tollens ed è una regola di inferenza valida;
  • D è corretta perché chi ha studiato dagli appunti sicuramente passerà l’esame, essendo studiare dagli appunti condizione sufficiente per passare l’esame (Modus Ponens).

Le risposte A e B sono sbagliate perché:

  • in A stiamo negando l’antecedente “se non studio dagli appunti” e dalla negazione dell’antecedente stiamo deducendo la negazione del conseguente “non passo l’esame”. Tuttavia, come visto, la negazione della condizione sufficiente non garantisce che anche il conseguente sia falso;
  • infine, nella B si afferma che se uno studente passa l’esame vuol dire che ha studiato dagli appunti. Ma A è condizione sufficiente e non necessaria per B. Quindi, potrei passare l’esame pur avendo studiato in altro modo. 

Condizione necessaria e sufficiente: tabella operatori

Infine, per aiutarti a risolvere gli esercizi, puoi utilizzare questa tabella sulla condizione necessaria e sufficiente con i principali operatori logici in uso in questo tipo di quiz.

Simbolo Significato
E
O
A implica B / se A allora B A ⇒ B
(oppure) A implica B / se A allora B A → B
A implica B e B implica A A ⇔ B
Se e solo se A sse B

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Immagine in evidenza di Pexels da Pixabay

Paola Pala

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