Formule piramide, tipi ed esercizi

formule piramide

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Quali sono le formule della piramide? Le trovi nella tabella qua sotto, insieme alla teoria e alle immagini su questo solido.

Le formule della piramide sono necessarie per risolvere i problemi di geometria nei compiti in classe delle scuole superiori e potrebbero essere oggetto dei quiz di matematica nei test di medicina e odontoiatria, veterinaria e professioni sanitarie.

In questo articolo trovi le formule, la definizione e le proprietà della piramide. In più, guarda la videolezione sulla piramide con la teoria e gli esercizi svolti dal nostro tutor di matematica.

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Formule piramide

A seguire trovi la tabella con le formule della piramide.

Ecco la legenda dei simboli utilizzati:

  • a = apotema
  • h = altezza
  • L = lato della base nella piramide a base quadrata
  • p = perimetro di base, dipende dal poligono alla base della piramide
  • r = raggio della circonferenza inscritta nel caso delle piramidi rette
  • Sb = area della superficie di base, come il perimetro, dipende dal poligono alla base della piramide
  • Slat = area della superficie laterale
  • Stot = area della superficie totale
  • V = volume

Il primo blocco di formule vale sia per la piramide obliqua che per quella retta. Invece, subito sotto trovi le formule della piramide retta e della piramide retta a base quadrata.

Usa queste formule per capire come si calcola l’apotema della piramide, il volume, l’altezza e le superfici.

Solido geometrico Formule
Piramide obliqua o retta Volume della piramide V = (Sb ∙ h) / 3
Superficie di base (formula inversa ricavata dal volume) Sb = 3V / h
Altezza (formula inversa ricavata dal volume) h = 3V / Sb
Superficie di base Sb dipende dal poligono di base
Superficie totale Stot = Slat + Sb
Superficie laterale (formula inversa ricavata dalla totale) Slat = Stot - Sb
Superficie di base (formula inversa ricavata dalla totale) Sb = Stot - Slat
Piramide retta Superficie laterale Slat = (p ∙ a) / 2
Apotema (formula inversa ricavata dalla superficie laterale) a = 2Slat / p
Perimetro di base (formula inversa ricavata dalla superficie laterale) p = 2Slat / a
Raggio della circonferenza inscritta nella base r = 2Sb / p
Perimetro di base (formula inversa ricavata dal raggio) p = 2Sb / r
Superficie di base (formula inversa ricavata dal raggio) Sb = (p ∙ r) / 2
Apotema della piramide a = √(h2 + r2)
Raggio di base (formula inversa ricavata dall’apotema) r = √(a2 - h2)
Altezza (formula inversa ricavata dall’apotema) h = √(a2 - r2)
Piramide retta a base quadrata Volume V = (L2 ∙ h) / 3
Superficie di base (formula inversa ricavata dal volume) Sb = 3V / h
Altezza (formula inversa ricavata dal volume) h = 3V / L2
Superficie di base Sb = L2
Spigolo di base (formula inversa ricavata dal volume) L = √(3V / h)
Perimetro di base p = 4L
Superficie laterale Slat = (4L ∙ a) / 2
Raggio della circonferenza inscritta nella base r = L / 2
Perimetro di base (formula inversa ricavata dal raggio) p = 8r
Superficie di base (formula inversa ricavata dal raggio) Sb = 4r2
Spigolo di base (formula inversa ricavata dal raggio) L = 2r

Definizione di piramide

La più comune definizione della piramide è:

la piramide è quel poliedro geometrico solido la cui base è un poligono e la cui superficie laterale è formata da triangoli che hanno in comune l’apice della piramide e che per base hanno uno degli spigoli della base stessa.

Inoltre, si noti che l’apice della piramide è esterno al piano su cui giace la base.

Parti della piramide

Conoscere la definizione delle parti della piramide ti aiuterà a fissare meglio nella memoria le relative formule:

  • superficie di base: l’area del poligono, regolare o irregolare, che sta alla base della piramide;
  • apice: è il vertice in comune a tutti i triangoli che formano la superficie laterale della piramide;
  • faccia laterale: ogni triangolo che ha per base uno degli spigoli della base e un vertice, l’apice, in comune con tutti gli altri triangoli;
  • altezza: il segmento perpendicolare che unisce l’apice con la base della piramide;
  • apotema della piramide retta: l’altezza di una delle facce laterali, triangoli, rispetto al relativo spigolo di base.
apotema piramide
Parti della piramide

Tipi di piramidi

Poiché la base della piramide può essere data da un poligono qualsiasi, ci sono vari modi per classificare le piramidi.

La distinzione principale è tra piramidi oblique e rette.

Tra le piramidi oblique, ci sono le piramidi acute se l’apice è sopra l’interno della base e le piramidi ottuse se l’apice è sopra l’esterno della base.

Le piramidi regolari sono quelle che hanno per base un poligono regolare. Le piramidi regolari sono generalmente considerate un sottoinsieme delle piramidi rette.

A seconda del tipo di poligono di base abbiamo le:

  • piramidi triangolari, che per base hanno un triangolo;
  • piramidi quadrangolari, se hanno per base un quadrilatero qualsiasi;
  • piramidi a base quadrata e così via.

Ma a queste classificazioni più comuni se ne possono aggiungere altre. Ad esempio, quella tra piramidi concave o convesse, sempre a seconda del tipo di poligono di base.

Piramide obliqua

Una piramide viene definita tale se non è retta. Una definizione molto semplice.

piramide obliqua
Disegno piramide obliqua

Piramide retta

Una piramide è retta se il poligono di base può essere inscritto in una circonferenza il cui centro corrisponde al piede dell’altezza della piramide.

piramide a base triangolare
Disegno piramide a base triangolare

Piramide regolare

Una piramide è regolare se la sua base è data da un poligono regolare. Ad esempio, se la base è un quadrato, avremo una piramide a base quadrata.

Un tipo particolare di piramide regolare è il tetraedro. Il tetraedro è formato da quattro triangoli equilateri.

piramide retta a base quadrata
Disegno piramide retta a base quadrata

Proprietà della piramide

Come tutti i solidi, anche la piramide ha delle proprietà che la contraddistinguono e caratterizzano. Vediamo le più importanti e utili da ricordare:

  • la piramide ha per facce laterali dei triangoli;
  • in una piramide retta, le altezze delle facce laterali (i triangoli) sono congruenti;
  • in una piramide regolare, i triangoli che formano la superficie laterale sono isosceli e congruenti;
  • in una piramide regolare gli spigoli laterali sono tutti congruenti fra loro;
  • in una piramide retta, il centro della circonferenza inscritta nella base corrisponde alla proiezione dell’apice della piramide sul piano della base stessa.

Per cui, anche in conseguenza di quanto detto sopra, data una piramide che ha per base un poligono con n lati, possiamo risponde a queste domande:

  • quante facce ha una piramide? n + 1
  • quanti spigoli ha una piramide? 2n
  • quanti vertici ha una piramide? n + 1

Per la spiegazione dettagliata, guarda la videolezione sulla piramide con la teoria e gli esercizi svolti dal nostro tutor.

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Video  e immagini nel testo di Marco Ogana, tutor WAU!

Immagine in evidenza di Nelia Designs da Pixabay

Paola Pala

Paola Pala

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