I teoremi e le formule sui poligoni inscritti e circoscritti sono tra gli argomenti fondamentali di geometria.
Spesso, i poligoni inscritti e circoscritti sono oggetto di compiti e interrogazioni alle scuole superiori e dei quiz dei test di ammissione a medicina, veterinaria e professioni sanitarie.
Leggi l’articolo per studiare o ripassare le definizioni, i teoremi e le formule. In più guarda la videolezione sui poligoni inscritti e circoscritti con i problemi risolti dal nostro tutor di matematica.
Poligoni inscritti e circoscritti: definizioni
Un poligono è inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici si trovano sulla circonferenza, cioè sono punti della circonferenza. In questo caso si dice che la circonferenza è circoscritta al poligono.
Il raggio del poligono inscritto in una circonferenza è il raggio della circonferenza circoscritta che coincide con la distanza tra il centro e uno dei vertici del poligono stesso. Invece, il circocentro di un poligono inscritto è il centro della circonferenza circoscritta.
Un poligono è circoscritto quando tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. In tal caso, diremo che la circonferenza è inscritta al poligono.
Il centro di un poligono circoscritto a una circonferenza è detto incentro. Infine, si definisce apotema il raggio della circonferenza inscritta.
Teoremi e proprietà dei poligoni inscritti e circoscritti
In base al criterio di inscrivibilità di un poligono, o di inscrittibilità:
per essere inscrivibile in una circonferenza, gli assi dei lati del poligono devono incontrarsi tutti nello stesso punto che corrisponde con il centro della circonferenza stessa.
In base al criterio di circoscrivibilità di un poligono:
un poligono è circoscrivibile se e solo se le rette bisettrici degli angoli interni si intersecano in uno stesso punto che corrisponde al centro della circonferenza stessa.
Da cui la domanda: quando un poligono si può inscrivere in una circonferenza? Quando è un poligono regolare. Infatti, qualsiasi poligono regolare può essere inscritto in una circonferenza e circoscritto a un’altra. Le due circonferenze saranno concentriche e avranno lo stesso centro.
Questi teoremi sono generici e da essi possiamo ricavare alcune proprietà specifiche dei poligoni inscritti e circoscritti.
Triangolo circoscritto a una circonferenza e inscritto
Un triangolo si può inscrivere in una circonferenza e circoscrivere a un’altra. Infatti, dati tre punti del piano, esiste sempre una circonferenza che li congiunge e l’incentro ha la stessa distanza dai lati del triangolo.
Nel caso di un triangolo rettangolo inscritto:
- l’ipotenusa coincide con il diametro
- il centro della circonferenza, circocentro, è il punto medio dell’ipotenusa
- il triangolo rettangolo è inscrivibile in una semicirconferenza
Quadrilatero circoscritto e inscritto
Invece, nel caso di un quadrilatero, il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se i due angoli opposti sono supplementari.
Per cui i quadrilateri inscrivibili in una circonferenza sono: rettangoli, quadrati, trapezi isosceli. Il rombo, il parallelogramma e il trapezio rettangolo non sono inscrivibili.
Un quadrilatero è circoscrivibile se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due. Per cui sono quadrilateri circoscrivibili i quadrati e i rombi.
Quale poligono non è circoscrivibile a una circonferenza? Non sono quadrilateri circoscrivibili: il rettangolo mentre parallelogramma, trapezio rettangolo e isoscele sono circoscrivibili solo se la somma dei lati opposti è congruente.
Poligoni inscritti e circoscritti formule
Prima di vedere le principali formule sui poligoni inscritti e circoscritti, ricordiamo che l’apotema di un poligono è il raggio della circonferenza inscritta e il raggio del poligono è il raggio della circonferenza circoscritta.
Nei poligoni regolari la misura dell’apotema è uguale al prodotto di un numero fisso per la lunghezza del lato, cioè:
a = nf· l per cui l = a/nf e nf = a/l dove a è l’apotema e l è il lato.
Questo numero fisso, nf, è pari a:
- 0,289 per i triangoli
- 0,5 per i quadrati
- 0,688 per i pentagoni
- 0,866 per l’esagono
L’area di un poligono regolare è uguale al prodotto di perimetro per apotema diviso due, ossia:
A = (p·a)/2
Vediamo i casi di un pentagono inscritto in una circonferenza e dell’esagono inscritto in una circonferenza.
Quindi, l’area del pentagono è uguale al prodotto tra l’apotema e il perimetro diviso due, dove a = l·0,688.
Poiché anche l’esagono è un poligono regolare formato da 6 triangoli, per calcolarne l’area dell’esagono basta calcolare quella di un triangolo e moltiplicarla per 6. Dato che la base del triangolo è uguale al lato dell’esagono e l’altezza è l’apotema:
- area del triangolo = (b·h)/2 = (l·a)/2 cioè base per altezza diviso due diventa lato per apotema fratto due;
- area dell’esagono = [(l·a)/2]·6.
Per approfondire, guarda la videolezione sui poligoni inscritti e circoscritti con gli esercizi svolti dal nostro tutor.
Video e immagini nel testo di Marco Ogana, tutor WAU!
Immagine in evidenza di Ekaterina Bolovtsova da Pexels
