Prodotti notevoli: formule, esempi ed esercizi

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Le formule dei prodotti notevoli sono utilissime per svolgere correttamente i calcoli negli esercizi e nei problemi durante i compiti in classe, le interrogazioni e i quiz dei test di medicina, veterinaria e professioni sanitarie.

In questo articolo, abbiamo raccolto in una tabella le formule dei principali prodotti notevoli. In più, trovi le regole, gli esempi e una videolezione con la teoria e gli esercizi sui prodotti notevoli a cura del nostro tutor.

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Cosa sono i prodotti notevoli

I prodotti notevoli sono formule per il calcolo delle potenze dei polinomi e dei prodotti tra polinomi, necessarie per semplificare la loro scomposizione.

Proprio poiché queste operazioni danno calcoli ricorrenti, è stato possibile ricavare le formule dei prodotti notevoli.

Prodotti notevoli: formule

A seguire trovi la tabella sui principali prodotti notevoli

Prodotto notevole Formule
Somma per differenza (a + b) · (a – b) = a2 - b2
Quadrato di un binomio con somma (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Quadrato di un binomio con differenza (a – b)2 = a2 - 2ab + b2
Cubo di un binomio con somma (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Cubo di un binomio con differenza (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 + b3
Quadrato di un trinomio con somma (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Quadrato di un trinomio con differenza (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc
Somma di due cubi a3 + b3 = (a + b) · (a2 - ab +b2)
Differenza di due cubi a3 – b3 = (a – b) · (a2 + ab +b2)
Cubo di un trinomio (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 +3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c +3bc2 + 6abc

Scomposizione prodotti notevoli con esempi

Guarda nel dettaglio come si fa la scomposizione dei prodotti notevoli e usa gli esempi per esercitarti nell’applicazione delle formule.

Somma per differenza

La somma per la differenza tra due binomi è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine.

(a + b) · (a – b) = a2 – b2

esempio somma per differenza

(4x3 + y2) · (4x3 – y2) = 16x6 – y4

Quadrato di un binomio con somma o differenza

Il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine, più o meno il doppio prodotto del primo per il secondo termine, più il quadrato del secondo termine.

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

esempio quadrato di un binomio

(x2 – 3y)2 = x4 – 6x2y +9y2

Cubo di un binomio con somma o differenza

Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più o meno il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo termine, più o meno il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo termine, più o meno il cubo del secondo termine.

(a ± b)3 = a3 ± 3a2b ± 3ab2 ± b3

esempio cubo di un binomio

(x2 – 2b)3 = x6 – 6x4b + 12x2b2 -8b3

Quadrato di un trinomio con somma o differenza

Il quadrato di un trinomio con somma o differenza è uguale alla somma dei quadrati dei termini, più o meno il doppio prodotto del primo per il secondo e il terzo, più o meno il doppio prodotto del secondo per il terzo.

(a ± b ± c)2 = a2 + b2 + c2 ± 2ab ± 2ac ± 2bc

esempio quadrato di un trinomio

(x2 + 2y – z3)2 = x4 + 4y2 + z6 + 4x2y -2x2z3 – 4yz3

Somma o differenza di due cubi

Tra i prodotti notevoli particolari, abbiamo la somma o differenza fra due cubi. Per scomporre questo prodotto notevole bisogna prima scrivere le basi dei due termini e quindi:

  • la somma fra due cubi è data dalla somma delle due basi per il trinomio del quadrato della prima base, meno il prodotto della prima per la seconda base, più il quadrato della seconda base;
  • la differenza fra due cubi è data dalla differenza tra le due basi per il trinomio del quadrato della prima base, più il prodotto della prima per la seconda base, più il quadrato della seconda base.

In pratica, la somma o la differenza fra due cubi è data dalla somma o differenza fra le basi per il falso quadrato del binomio formato dalla somma o differenza fra le basi.

a3 ± b3 = (a ± b) · (a2 ±ab + b2)

esempio somma di due cubi

27x3 + 8 = (3x + 2) · (9x2 – 6x + 4)

esempio differenza di due cubi

27x3 – 8 = (3x – 2) · (9x2 + 6x + 4)

Cubo di un trinomio

Infine, la scomposizione di un cubo di un trinomio. Per applicare questo prodotto notevole, ricorda che la scomposizione comprende 10 termini.

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 +3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c +3bc2 + 6abc

esempio cubo di un trinomio

(x + y2 + 2) = x3 + y6 + 8 + 3x2y2 + 3xy4 + 6x2 + 12x + 6y4 + 12y2 + 12xy2

Per una spiegazione ancora più completa, guarda la videolezione sui prodotti notevoli con gli esercizi svolti dal nostro tutor di matematica per imparare al meglio le formule e come applicarle.

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Immagine in evidenza di Louis Bauer da Pexels

Paola Pala

Paola Pala

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