In questa lezione vedremo le proprietà dei logaritmi. Si tratta di un argomento molto utile per risolvere gli esercizi dei compiti in classe alle scuole superiori o i quiz di matematica del test di medicina, veterinaria e professioni sanitarie.
Infatti, le proprietà dei logaritmi servono a capire come risolvere i logaritmi e le operazioni con essi.
Usa la tabella per fissare le formule e guarda il video con gli esercizi sui logaritmi svolti dal nostro tutor di matematica.
Definizione di logaritmo
Innanzitutto, ti ricordiamo la definizione di logaritmo.
Che cos’è un logaritmo?
Il logaritmo di un numero è l’esponente x che assegnato a una base ci permette di ottenere l’argomento b.
In pratica, il concetto di logaritmo è legato a quella di potenza. Infatti, il logaritmo è un’operazione inversa a quella di elevamento a potenza:
- se tu conoscessi l’esponente e dovessi trovare la base, faresti l’operazione di estrazione di radice;
- se invece avessi la base ma non l’esponente, per trovarlo useresti il logaritmo.
Ricorda che per calcolare la potenza di un numero devi moltiplicare quel numero per se stesso tante volte quanto dice l’esponente.
Quindi, dato ax = b, per trovare x devi calcolare il logab, dove a è la base, b è l’argomento e x è il logaritmo in base a di b.
Le condizioni di esistenza del logaritmo sono che a e b siano entrambi numeri reali positivi e a sia diverso da 1, ossia a e b > 0 e a ≠ 1.
Inoltre, è chiaro che il logaritmo di 1 è sempre pari a 0 perché qualsiasi numero elevato 0 dà 1 come risultato.
Proprietà dei logaritmi
Le proprietà dei logaritmi sono state introdotte per semplificare le operazioni e i calcoli. Guarda la tabella delle proprietà dei logaritmi principali. A seguire, trovi una spiegazione più dettagliata di ciascuna proprietà e il relativo esempio.
| Proprietà del logaritmo | Formula |
|---|---|
| logaritmo di un prodotto | loga(b · c) = loga(b) + loga(c) |
| logaritmo di un quoziente | loga(b/c) = loga(b) – loga(c) |
| logaritmo di un esponente | loga(bc) = cloga(b) |
| cambio base | logn(b) = logv(b)/logv(n) |
| inversione base-argomento | loga(b)= 1/logb(a) |
| trasformazione di un numero n in potenza di base a | n = aloga(n) |
| trasformazione di un numero n in logaritmo di base a | n = loga(an) |
Logaritmo di un prodotto
Il logaritmo di un prodotto è pari alla somma dei logaritmi. Ossia, qualunque sia la base, dato il logaritmo in base a di (b · c), devi sommare i logaritmi di b e di c, entrambi in base a.
Ad esempio:
log2(4 · y) = log2(4) + log2(y)
Proprietà logaritmi: quoziente
Il logaritmo di un quoziente si risolve facendo la differenza fra il logaritmo del dividendo e quello del divisore. Cioè, a prescindere dalla base, se il logaritmo contiene una frazione devi sottrarre al logaritmo del numeratore quello del denominatore.
Ad esempio:
log3(x/5) = log3(x) – log3(5)
Logaritmo di una potenza
Il logaritmo di una potenza è pari al prodotto tra l’esponente e il logaritmo della base di questa potenza. Cioè, se l’argomento di un logaritmo ha un esponente, questo esponente diventa un coefficiente del logaritmo e viene portato davanti a esso.
Ad esempio:
log2(y5) = 5log2(y)
Cambio base logaritmo
Per rendere più semplici i calcoli, è possibile cambiare la base di un logaritmo. Per eseguire il cambio base, bisogna dividere il logaritmo nella nuova base e il vecchio argomento per un algoritmo sempre nella nuova base ma che per argomento avrà la vecchia base.
Ad esempio:
log5(x) = log7(x)/log7(5)
Inversione base-argomento di un logaritmo
La formula di inversione base-argomento di un logaritmo è derivata da quella precedente e permette di invertire base e argomento se la base data non ci agevola i calcoli.
Ad esempio:
log5(x) = 1/logx(5)
Trasformazione di un numero n in potenza di base a
Questa formula è una riscrittura inversa del logaritmo. Infatti, se il logaritmo è quel numero c per cui n = ac, allora n sarà uguale aloga(n).
Ad esempio:
9 = 5log5(9) a condizione che a e n > 0 e a≠1.
Analogamente, possiamo trasformare un numero n in un logaritmo in base a.
Ad esempio:
5 = log7(75).
Per capire meglio questo argomento, guarda anche il video con gli esercizi svolti sulle proprietà dei logaritmi.
Video e immagini nel testo di Marco Ogana, tutor WAU!
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