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Le proprietà delle potenze: teoria, video, esercizi

In questa lezione di matematica parliamo di proprietà delle potenze. Le proprietà delle potenze sono molto utili per svolgere calcoli e risolvere esercizi di matematica durante i compiti delle scuole superiori o nei test di medicina, veterinaria e professioni sanitarie.

Leggi quali sono le proprietà delle potenze, guarda la dimostrazione e gli esempi. In più, vai alla videolezione sulle proprietà delle potenze con tanti esercizi svolti dal nostro tutor di matematica.

Le proprietà delle potenze

La potenza è un’operazione matematica secondo cui un numero, detto base, viene moltiplicato per sè stesso per un numero di volte pari a quello indicato da un altro numero, detto esponente.

Ossia 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8.

Le potenze servono a semplificare i calcoli e risolvere più velocemente equazioni e disequazioni.

Ricordiamo i casi particolari di potenze:

  • potenza con base 1. Se la base della potenza è 1, il risultato è sempre 1 a prescindere dall’esponente, ossia 1n = 1. Quindi, 15 = 1;
  • potenza con esponente 0. È un caso limite, che può verificarsi quando sottraendo tra di loro gli esponenti otteniamo 0, che equivale a dividere due numeri uguali. Poiché un numero diviso per sè stesso dà 1, allora anche n0 = 1;
  • potenze con base ed esponente 0. n0 = indeterminato.

Quali sono le proprietà delle potenze? Le 5 proprietà delle potenze sono:

  1. prodotto di potenze con stessa base e diverso esponente;
  2. quoziente di potenze con stessa base e diverso esponente;
  3. prodotto di potenze con diversa base e stesso esponente;
  4. quoziente di potenze con diversa base e stesso esponente;
  5. potenza di una potenza.

Prodotto di potenze con la stessa base

Il prodotto fra due potenze aventi stessa base e diverso esponente è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
In termini matematici: na ∙ nb = na+b.
Esempio:
42 ∙ 43 = (4 ∙ 4) ∙ (4 ∙ 4 ∙ 4) = 45.

Quoziente di potenze con la stessa base

Il quoziente fra due potenze aventi stessa base e diverso esponente è uguale a una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

In termini matematici: na : nb = na-b.

Esempio:

25 : 23 = (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2) : (2 ∙ 2 ∙ 2) = (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2) : (2 ∙ 2 ∙ 2) = 22 / 20  = 22 / 1 = 22.

Ricorda che un numero elevato 0 è sempre uguale a 1.

Se l’esponente della prima potenze è minore rispetto al secondo esponente, avremo una potenza con esponente negativo.

Prodotto di potenze con lo stesso esponente

Come applicare le proprietà delle potenze quando le basi sono diverse? Il prodotto fra due potenze aventi basi differenti e stesso esponente è uguale a una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

In termini matematici: na ∙ ma = (n ∙ m)a = nma.

Per dimostrare questa proprietà si applica la proprietà commutativa.

Esempio:

42 ∙ 52 = 4 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 5 = (4∙5) ∙ (4∙5) = (4∙5)2.

Quoziente di potenze con lo stesso esponente

Il quoziente fra due potenze aventi basi differenti e stesso esponente è uguale a una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

In termini matematici: na : ma  = (n : m)a = (n/m)a.

Anche per dimostrare questa proprietà si applica la proprietà commutativa.

Esempio:

86 : 46 = (8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8) / (4 ∙ 4 ∙ 4∙ 4 ∙ 4 ∙ 4) = (8/4)6  = 26.

Potenza di una potenza

Una potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

In termini matematici: (na)b = na ∙ b.

Esempio:

(53)2 = 53 ∙ 53 = 5(3 ∙ 2) = 56.

Proprietà delle potenze con le frazioni

Le proprietà delle potenze si possono applicare anche in caso di operazioni con le frazioni.

Facciamo un esempio per ogni proprietà:

  • prodotto tra potenze di frazioni con stessa base e diverso esponente, (2/3)3 ∙ (2/3)2 = (2/3)5;
  • quoziente tra potenze di frazioni con stessa base e diverso esponente, (5/4)3 : (5/4)2 = 5/4;
  • prodotto tra potenze di frazioni con diversa base e stesso esponente, (2/3)2 ∙ (3/5)2 = (2/3 ∙ 3/5)2 = (2/5)2;
  • quoziente tra potenze di frazioni con base diversa e stesso esponente, (5/4)3 : (5/6)3 = (5/4 : 5/6)3 = (6/4)3 = (3/2)3;
  • potenza di potenza di una frazione, [(3/2)3]2 = (3/2)6.

Come si fanno le espressioni con le potenze

Come risolvere le espressioni con le proprietà delle potenze? I passaggi per risolvere un’espressione con le proprietà delle potenze sono:

  1. risolvi prima le operazioni dentro parentesi tonda;
  2. applica le proprietà delle potenze se tra le parentesi hai operazioni tra potenze con stessa base, con stesso esponente o una potenza di potenze;
  3. se non puoi applicare le proprietà delle potenze, svolgi le potenze;
  4. elimina le parentesi tonde quando hai un solo numero al loro interno;
  5. a seguire, con lo stesso procedimento, risolvi le parentesi quadre e graffe, se presenti.

Esempio di espressione con le potenze:
[(36 ∙ 56) : (22 ∙ 24)] : [(1/4)2]3  = [(3 ∙ 5)6 : (2 ∙ 2)2+4] : (1/4)= [156 : 46] : (1/4)= [156 : 46] : (1/4)= [15 : 4]6 : (1/4)= (15/4 : 1/4)6  = 15.

Per non avere più dubbi sulle proprietà delle potenze, guarda la videolezione con tanti esercizi con le proprietà delle potenze svolti dal nostro tutor di matematica.

Video nel testo di Marco Ogana, tutor WAU!

Immagine in evidenza di Willfried Wende da Pixabay

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