Ellisse formule, equazione e problema

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L’ellisse è tra gli argomenti di geometria più richiesti nei compiti in classe, nelle interrogazioni alle scuole superiori e nei test di ammissione alle facoltà ad accesso programmato.

Per rispondere correttamente ai quiz dei test di medicina, veterinaria e professioni sanitarie, devi conoscere le formule dell’ellisse.

In questo articolo trovi la teoria sull’ellisse. In più, una videolezione con un problema sull’ellisse risolto dal nostro tutor di matematica.

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Ellisse: definizione

Cos’è un’ellisse?

Data un’ellisse posizionata su un piano cartesiano, l’ellisse è il luogo geometrico in cui è costante la somma delle distanze dei fuochi F1 e F2, suoi punti fissi.

Dalla definizione dell’ellisse ricaviamo la seguente condizione algebrica:

PF1 + PF2 = costante

La forma dell’ellisse è quella della sezione piana di un cono di rotazione con un piano, che incide l’asse del cono ma che non è parallelo.

L’ellisse ha due assi perpendicolari che si incontrano in un punto. Infatti, l’ellisse è caratterizzata sia da simmetria assiale che centrale.

Nel caso studio più semplice, gli assi sono paralleli all’asse x e y del piano cartesiano. Ma è bene sapere che gli assi possono essere inclinati in svariati modi.

Non ricordi gli assi cartesiani? Studia o ripassa Il piano cartesiano: cos’è e come funziona.

Gli elementi dell’ellisse

L’ellisse è caratterizzata da alcuni elementi. Ecco le definizioni degli elementi dell’ellisse:

  • gli assi: i segmenti che dividono l’ellisse in parti uguali, a loro volta divisi nei semiassi dell’ellisse;
  • vertici dell’ellisse: i punti in cui gli assi intersecano l’ellisse;
  • centro dell’ellisse: il punto di intersezione degli assi. Il centro dell’ellisse è anche il suo centro di simmetria.
  • fuochi dell’ellisse. Che cosa sono i fuochi dell’ellisse? Sono due punti fissi situati sull’asse maggiore, rispetto a quali è costante la somma delle distanze di un qualsiasi punto che appartiene all’ellisse stessa;
  • distanza focale: dati i fuochi, è la distanza tra di essi;
  • eccentricità dell’ellisse: valore della deformità dell’ellisse rispetto a una circonferenza. Ossia indica quanto è schiacciata l’ellisse. Più precisamente è il rapporto tra la semidistanza focale e la lunghezza del semiasse maggiore.
disegno ellisse
Disegno ellisse con fuochi sull’asse orizzontale

Equazione ellisse con centro nell’origine

Come trovare l’equazione di un’ellisse?

L’equazione dell’ellisse con assi paralleli agli assi del piano cartesiano e centro nell’origine del piano è:

x2/a2 + y2/b2 = 1 dove a ≠ 0 e b ≠ 0

L’equazione di un’ellisse con centro nell’origine degli assi è un’equazione di 2° grado.

Ellisse formule

Ecco le principali formule dell’ellisse con centro nell’origine.

Formule assi e semiassi dell’ellisse

I semiassi sono i coefficienti a e b dell’equazione dell’ellisse, il più lungo sarà l’asse maggiore. Per cui:

  • a = semiasse orizzontale
  • 2a = asse orizzontale
  • b = semiasse verticale
  • 2b = asse verticale

Formule vertici dell’ellisse

Se l’ellisse ha centro nell’origine, le formule dei vertici dell’ellisse sono:

ellisse con asse verticale

  • V1 = (a;0)
  • V2 = (-a;0)
  • V3 = (0;-b)
  • V4 = (0;+b)

ellisse con asse orizzontale

  • V1 = (-a;0)
  • V2 = (a;0)
  • V3 = (0;b)
  • V4 = (0;-b)

Formula semidistanza focale

La semidistanza focale è identificata con c ed è la semidistanza tra i due fuochi. Anche la semidistanza dipende da qual è l’asse maggiore, se l’orizzontale o il verticale:

  • c = √a2 – b2    se a2 >b2
  • c = √b2 – a2    se b2 >a2

Formule fuochi dell’ellisse

Come si trova il fuoco dell’ellisse?

Come già scritto, i fuochi sono simmetrici rispetto al centro e si trovano sull’asse maggiore:

  • se a2 >b2 → F1,2 = (±c;0) con c = √a2 – b2
  • se b2 >a2 → F1,2 = (0;±c) con c = √b2 – a2

Formula eccentricità dell’ellisse

L’eccentricità dell’ellisse si indica con e. In base a qual è l’asse maggiore, le formule sono:

  • e = c/a se a2>b2
  • e = c/b se b2>a2

Il valore dell’eccentricità è compreso tra 0, da includere, e 1, da escludere. Se e = 0, l’ellisse è una circonferenza perché l’eccentricità è nulla, perché nulla è la semidistanza tra i fuochi che coincidono nel centro della circonferenza stessa. Invece, con e = 1, l’ellisse sarebbe un segmento.

Formula area dell’ellisse

La formula dell’area dell’ellisse è:

A = πab

Infatti, quando a = b, l’ellisse è una circonferenza e la formula è come quella del cerchio A = πr2.

Equazione dell’ellisse traslata

Per ellisse traslata si intende un’ellisse il cui centro non è nell’origine.

L’equazione dell’ellisse traslata è

(x – xC)2/a2 + (y-yC)2/b2 = 1

dove (xC;yC) sono le coordinate del centro C e a e b sono i semiassi.

Le formule dell’ellisse traslata sono le stesse dell’ellisse con centro nell’origine, ad eccezione di quelle dei:

vertici

  • V1 = (xC-a;yC)
  • V2 = (xC+a;yC)
  • V3 = (xC;yC-b)
  • V4 = (xC;yC+b)

e dei fuochi

  • se a2>b2 = F1,2 = (xC ±c; yC) dove c =√a2 -b2
  • se b2>a2 = F1,2 = (xC; yC±c) dove c = √b2 – a2

Guarda anche la videolezione con un problema sull’ellisse svolto dal nostro tutor di matematica.

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Immagini e video nel testo di Marco Ogana, tutor WAU!

Immagine in evidenza di Jill Burrow da Pexels

Paola Pala

Paola Pala

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