L’ellisse è tra gli argomenti di geometria più richiesti nei compiti in classe, nelle interrogazioni alle scuole superiori e nei test di ammissione alle facoltà ad accesso programmato.
Per rispondere correttamente ai quiz dei test di medicina, veterinaria e professioni sanitarie, devi conoscere le formule dell’ellisse.
In questo articolo trovi la teoria sull’ellisse. In più, una videolezione con un problema sull’ellisse risolto dal nostro tutor di matematica.
Ellisse: definizione
Cos’è un’ellisse?
Data un’ellisse posizionata su un piano cartesiano, l’ellisse è il luogo geometrico in cui è costante la somma delle distanze dei fuochi F1 e F2, suoi punti fissi.
Dalla definizione dell’ellisse ricaviamo la seguente condizione algebrica:
PF1 + PF2 = costante
La forma dell’ellisse è quella della sezione piana di un cono di rotazione con un piano, che incide l’asse del cono ma che non è parallelo.
L’ellisse ha due assi perpendicolari che si incontrano in un punto. Infatti, l’ellisse è caratterizzata sia da simmetria assiale che centrale.
Nel caso studio più semplice, gli assi sono paralleli all’asse x e y del piano cartesiano. Ma è bene sapere che gli assi possono essere inclinati in svariati modi.
Non ricordi gli assi cartesiani? Studia o ripassa Il piano cartesiano: cos’è e come funziona.
Gli elementi dell’ellisse
L’ellisse è caratterizzata da alcuni elementi. Ecco le definizioni degli elementi dell’ellisse:
- gli assi: i segmenti che dividono l’ellisse in parti uguali, a loro volta divisi nei semiassi dell’ellisse;
- vertici dell’ellisse: i punti in cui gli assi intersecano l’ellisse;
- centro dell’ellisse: il punto di intersezione degli assi. Il centro dell’ellisse è anche il suo centro di simmetria.
- fuochi dell’ellisse. Che cosa sono i fuochi dell’ellisse? Sono due punti fissi situati sull’asse maggiore, rispetto a quali è costante la somma delle distanze di un qualsiasi punto che appartiene all’ellisse stessa;
- distanza focale: dati i fuochi, è la distanza tra di essi;
- eccentricità dell’ellisse: valore della deformità dell’ellisse rispetto a una circonferenza. Ossia indica quanto è schiacciata l’ellisse. Più precisamente è il rapporto tra la semidistanza focale e la lunghezza del semiasse maggiore.
Equazione ellisse con centro nell’origine
Come trovare l’equazione di un’ellisse?
L’equazione dell’ellisse con assi paralleli agli assi del piano cartesiano e centro nell’origine del piano è:
x2/a2 + y2/b2 = 1 dove a ≠ 0 e b ≠ 0
L’equazione di un’ellisse con centro nell’origine degli assi è un’equazione di 2° grado.
Ellisse formule
Ecco le principali formule dell’ellisse con centro nell’origine.
Formule assi e semiassi dell’ellisse
I semiassi sono i coefficienti a e b dell’equazione dell’ellisse, il più lungo sarà l’asse maggiore. Per cui:
- a = semiasse orizzontale
- 2a = asse orizzontale
- b = semiasse verticale
- 2b = asse verticale
Formule vertici dell’ellisse
Se l’ellisse ha centro nell’origine, le formule dei vertici dell’ellisse sono:
ellisse con asse verticale
- V1 = (a;0)
- V2 = (-a;0)
- V3 = (0;-b)
- V4 = (0;+b)
ellisse con asse orizzontale
- V1 = (-a;0)
- V2 = (a;0)
- V3 = (0;b)
- V4 = (0;-b)
Formula semidistanza focale
La semidistanza focale è identificata con c ed è la semidistanza tra i due fuochi. Anche la semidistanza dipende da qual è l’asse maggiore, se l’orizzontale o il verticale:
- c = √a2 – b2 se a2 >b2
- c = √b2 – a2 se b2 >a2
Formule fuochi dell’ellisse
Come si trova il fuoco dell’ellisse?
Come già scritto, i fuochi sono simmetrici rispetto al centro e si trovano sull’asse maggiore:
- se a2 >b2 → F1,2 = (±c;0) con c = √a2 – b2
- se b2 >a2 → F1,2 = (0;±c) con c = √b2 – a2
Formula eccentricità dell’ellisse
L’eccentricità dell’ellisse si indica con e. In base a qual è l’asse maggiore, le formule sono:
- e = c/a se a2>b2
- e = c/b se b2>a2
Il valore dell’eccentricità è compreso tra 0, da includere, e 1, da escludere. Se e = 0, l’ellisse è una circonferenza perché l’eccentricità è nulla, perché nulla è la semidistanza tra i fuochi che coincidono nel centro della circonferenza stessa. Invece, con e = 1, l’ellisse sarebbe un segmento.
Formula area dell’ellisse
La formula dell’area dell’ellisse è:
A = πab
Infatti, quando a = b, l’ellisse è una circonferenza e la formula è come quella del cerchio A = πr2.
Equazione dell’ellisse traslata
Per ellisse traslata si intende un’ellisse il cui centro non è nell’origine.
L’equazione dell’ellisse traslata è
(x – xC)2/a2 + (y-yC)2/b2 = 1
dove (xC;yC) sono le coordinate del centro C e a e b sono i semiassi.
Le formule dell’ellisse traslata sono le stesse dell’ellisse con centro nell’origine, ad eccezione di quelle dei:
vertici
- V1 = (xC-a;yC)
- V2 = (xC+a;yC)
- V3 = (xC;yC-b)
- V4 = (xC;yC+b)
e dei fuochi
- se a2>b2 = F1,2 = (xC ±c; yC) dove c =√a2 -b2
- se b2>a2 = F1,2 = (xC; yC±c) dove c = √b2 – a2
Guarda anche la videolezione con un problema sull’ellisse svolto dal nostro tutor di matematica.
Immagini e video nel testo di Marco Ogana, tutor WAU!
Immagine in evidenza di Jill Burrow da Pexels
