La retta: i concetti fondamentali da studiare

la retta

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State già studiano la retta a scuola? Oppure hai bisogno di approfondire matematica e geometria perché ti stai preparando per i test di ammissione 2021 alle facoltà a numero chiuso come medicina, veterinaria, professioni sanitarie?

In questo articolo c’è tutto quello che ti serve sapere sulla retta, la retta nel piano cartesiano e come disegnarla.

Scoprirai la differenza tra rette parallele e perpendicolari. Inoltre, capirai come si trova l’equazione di una retta e come si calcola il coefficiente angolare.

Difficile? Non preoccuparti. Nell’articolo trovi i disegni sulla retta, le formule ben spiegate e soprattutto, un video YouTube con una videolezione sulla retta e gli esercizi svolti per te dal nostro tutor.

La retta

Che cos’è una retta

Partiamo dalla definizione della retta, fondamentale per capire il resto dell’articolo. Per cui, fissala bene nella memoria.

La linea retta o semplicemente retta è un ente geometrico fondamentale. Nello specifico:

è un insieme infinito di punti allineati nel piano o nello spazio, quindi non ha né un inizio né una fine. Ha una sola dimensione, la lunghezza, e pertanto non è un ente tridimensionale perché non ha profondità o altezza.

Come disegnare una retta sul piano cartesiano

Disegnare una retta nel piano cartesiano è molto semplice.

Devi solo tracciare una linea. Puoi anche disegnarla con gli estremi tratteggiati per mettere in evidenza che la retta è infinita.

Ripassa il piano cartesiano. Vai a Il piano cartesiano: cos’è e come funziona, con videolezione su YouTube ed esercizi.

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Come trovare l’equazione di una retta

Come già detto, l’equazione di una retta nel piano cartesiano si basa sul sistema delle coordinate cartesiane.

Solo i punti con coordinate (x, y) che soddisfano l’equazione della retta data possono essere considerati punti della retta.

Pertanto, l’equazione della retta in forma esplicita è:

y = mx + q

dove m è il coefficiente angolare ed esprime la pendenza della retta rispetto all’asse x. Invece q è l’ordinata all’origine e indica l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse y.

Come trovare l’equazione di una retta
Equazione generica di una retta r
che cos’è la retta
Il termine q fa traslare (in alto e in basso) lungo l’asse y la retta di equazione y = mx

La relazione tra retta e punti è espressa in questo modo:

per due punti distinti passa una ed una sola retta.

Detto in altri termini, dati due punti A e B, la retta che li unisce è unica. Questa retta è chiamata retta r oppure retta AB.

Guarda anche la videolezione su YouTube con lo svolgimento di un esercizio sull’equazione e grafico di una retta passante per due punti noti.

Per due punti passa una sola retta r

Come si calcola il coefficiente angolare

m, il coefficiente angolare di una retta, esprime la pendenza della retta rispetto all’asse x.

Se la retta è verticale, di solito si dice che m non è definito oppure che m = ∞. Se la retta è orizzontale (y = q) è chiaro che m=0.

Il segno di m ci dice se la retta è crescente, dunque in salita (m > 0), o decrescente, dunque in discesa (m < 0)

Per cui, come si calcola la pendenza di una retta?

Il coefficiente m di una retta è strettamente legato alla sua pendenza, ma non rappresenta l’angolo, bensì la sua tangente. Per cui il coefficiente angolare è la tangente dell’angolo α.

Come si trova la retta passante per l’origine

Una retta che passa per l’origine ha equazione:

y = mx con m coefficiente angolare

Per cui, per determinare l’equazione della retta passante per l’origine devi conoscerne la pendenza o un altro punto.

Guarda anche la videolezione su YouTube con lo svolgimento di un esercizio sull’equazione della retta con coefficiente angolare m e un punto noti.

come si calcola il coefficiente angolare
Lo zero della retta (x: 0), ricavabile dall’equazione di primo grado; il termine noto q che ci definisce il punto dove la retta interseca l’asse delle y con coordinata (0; q)

Quando due rette si dicono incidenti

Due rette sono incidenti quando hanno un solo punto in comune. Se dall’intersezione si formano quattro angoli retti, le rette sono perpendicolari.

Guarda anche la videolezione per capire come trovare il punto di intersezione fra due rette di equazione nota.

Due rette incidenti hanno in comune un punto P, le quali coordinate possono essere ricavate da un sistema fra le due rette s e r

Quando le rette sono perpendicolari

Quindi, le rette perpendicolari sono un caso specifico di rette incidenti. Detto in formule, due rette descritte nella forma:

y = m1x + q1

y = m2x + q2

sono perpendicolari se e solo se m2 · m1 = -1

Infatti, i coefficienti angolari di due rette perpendicolari sono l’uno il reciproco dell’opposto dell’altro:

m2 = -1/m1

Quando le rette sono perpendicolari
Due rette perpendicolari con coefficiente angolare antireciproco (inverso e opposto)

Quando le rette sono parallele

Invece, due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare:

m2 = m1

Quindi, due rette parallele non si intersecano. Sul piano cartesiano, due rette parallele hanno sempre la stessa distanza tra di loro.

Quando le rette sono parallele
Due rette parallele con coefficiente angolare uguale

Quando due rette si dicono complanari

Infine, come puoi intuire dalla parola stessa, due rette sono complanari se esiste un piano che le contiene entrambe.

In tal caso, possono essere parallele oppure se si intersecano, incidenti.

Guarda la videolezione su YouTube con 3 esercizi sul disegno della retta:

  • equazione e grafico di una retta passante per due punti noti;
  • equazione della retta con coefficiente angolare m e un punto noti;
  • trovare il punto di intersezione fra due rette di equazione nota.

Disegni nel testo del Dott. Luca Nuvoli

Immagine in evidenza Martin Winkler da Pixabay

Paola Pala

Paola Pala

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