Le funzioni matematiche: definizioni e proprietà

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Le funzioni in matematica sono un argomento fondamentale per gli studenti di scuola superiore e l’università.

In questo articolo trovi la definizione di funzione e i concetti più importanti da conoscere sulle funzioni matematiche, le principali proprietà delle funzioni matematiche spiegate attraverso disegni semplici e chiari.

In più, segui la videolezione sulle funzioni matematiche del tutor WAU! di matematica.

Se conosci già le teoria sulle funzioni matematiche, vai direttamente all’esercizio sullo studio di una funzione reale con immagini e video. Trovi tutti i passaggi spiegati passo dopo passo dal nostro tutor.

Cos’è una funzione matematica

La definizione di funzione matematica più diffusa è:

la funzione matematica è una relazione tra due insiemi, A e B, chiamati anche dominio e codominio, che associa a ogni elemento del dominio A, uno e un solo elemento del codominio B.

La relazione è indicata con ƒ: A → B, dove x, con x Є A, viene indicato con ƒ(x) e si legge “effe di x”.

x è la variabile indipendente, mentre y è la variabile dipendente perché il suo valore dipende da quello di x.

Classificazione delle funzioni matematiche

Le funzioni matematiche si dividono in due gruppi principali:

1. le funzioni algebriche, caratterizzate dalla presenza di sole operazioni algebriche elementari.

A loro volta, le funzioni algebriche si dividono in:

  • razionali intere
  • razionali fratte
  • irrazionali intere
  • irrazionali fratte

2. le funzioni trascendenti, ulteriormente classificabili in:

  • funzioni trigonometriche
  • funzioni logaritmiche
  • funzioni esponenziali

Come trovare il dominio di una funzione

Il dominio di una funzione è l’insieme di tutti quei valori reali, chiamato campo di esistenza, assegnabili a x in modo tale da avere il valore di y corrispondente, data la funzione:

y = ƒ(x)

Quindi, il campo di esistenza include tutte le condizioni di esistenza della funzione, ovvero tutti i valori di x per i quali la funzione è definita.

Il dominio è il più grande insieme dei numeri reali, o l’insieme stesso dei numeri reali, per cui la funzione è definita.

Il dominio di una funzione si indica con Dom(ƒ) e dati gli insiemi A e B, Dom(ƒ) = A.

Per trovare il dominio di una funzione bastano poche regole. Guarda la videolezione sulle funzioni su YouTube per imparare a trovare il dominio di una funzione.

Codominio della funzione

Ricordi la definizione di funzione che abbiamo dato all’inizio dell’articolo? Da quella definizione è semplice risalire al concetto di codominio della funzione.

Una funzione matematica è una relazione tra gli elementi di due insiemi, A detto dominio, e B cioè l’insieme formato dalle immagini di A.

Quindi, possiamo anche dire che gli elementi x fanno parte del dominio e gli elementi y del codominio della funzione y=ƒ(x).

Immagine e controimmagine della funzione

L’immagine di una funzione è l’insieme dei valori assunti dalla funzione nel suo dominio. Quindi è contenuta nell’insieme di arrivo della funzione, che è il suo codominio. L’immagine può coincidere con il codominio.

In altri termini, il codominio è l’insieme delle immagini di una relazione.

Di conseguenza, sarà chiaro che l’insieme delle controimmagini è il dominio della relazione stessa.

Il segno della funzione

Data la funzione y=ƒ(x) dobbiamo studiarne il segno, cioè individuare per quali intervalli del dominio il grafico della funzione si trova sopra l’asse x e per quali valori sotto l’asse x.

Infatti, a seconda dei valori di x, y potrà risultare positiva o negativa.

Per trovare il segno il segno della funzione, è necessario risolvere la disequazione ƒ(x) ≥ 0. Il grafico della funzione sarà nel semipiano positivo delle y per quei valori che verificano la disequazione. Quindi la funzione è positiva.

Al contrario, il grafico della funzione si troverà nel semipiano negativo delle y, per quei valori che non verificano la disequazione e la funzione sarà negativa.

Proprietà delle funzioni

Veniamo adesso alle principali proprietà delle funzioni matematiche e studiamo attraverso le immagini la funzione:

  • iniettiva
  • suriettiva
  • biunivoca
  • inversa
  • pari
  • dispari

Funzione iniettiva

Dati due insiemi

ƒ: A → B

una funzione è iniettiva se ogni elemento di B è immagine al massimo di un elemento di A, ossia quando gli elementi distinti del dominio sono associati a elementi distinti del codominio.

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Funzione suriettiva

Dati due insiemi

ƒ: A → B

una funzione è suriettiva quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. Questo significa che a ogni punto delle ordinate corrisponde almeno un punto delle ascisse o anche di più.

In altri termini, puoi dire che una funzione è suriettiva quando ogni elemento del codominio è raggiunto da uno o più elementi del dominio.

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Funzione biunivoca o biettiva

Dati due insiemi

ƒ: A → B

una funzione è biunivoca o biettiva se ogni elemento del codominio è raggiunto da uno ed un solo elemento del dominio.

Nel piano cartesiano, questo significa che a ogni valore sull’asse y corrisponde un solo valore sull’asse x.

Quindi, una funzione biunivoca è iniettiva e suriettiva allo stesso tempo.

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Funzione inversa

Dati due insiemi

ƒ-1: A ← B

La funzione inversa esiste solo per le funzioni biunivoche del tipo ƒ: A → B ed è quella per cui ogni elemento del dominio A è raggiunto da uno ed un solo elemento del codominio B.

Una funzione che ha la sua inversa è chiamata invertibile.

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Funzione pari

Una funzione pari è simmetrica rispetto all’asse delle y.

Una funzione pari è espressa dalla relazione ƒ(x) = ƒ(-x).

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Funzione dispari

Una funzione dispari è simmetrica rispetto all’origine degli assi.

Una funzione dispari è espressa dalla relazione ƒ(-x) = -ƒ(x).

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Disegno nel testo del Dott. Luca Nuvoli

Immagine in evidenza di Gerd Altmann da Pixabay

Paola Pala

Paola Pala

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