Leggi questo articolo per imparare come si fa uno studio di una funzione. A seguire, trovi un esercizio svolto con tutti i passaggi: calcolo del dominio, controllo simmetrie, intersezione con gli assi, studio del segno, calcolo dei limiti e derivate.
Per aiutarti nello studio di funzione, guarda anche la videolezione sullo studio di funzione.
Studio di una funzione: cos’è
Lo studio di una funzione è un insieme di passaggi analitici dai quali si ricavano le informazioni necessarie per descrivere come si comporta una funzione nel suo dominio.
I passaggi vanno dal calcolo del dominio fino allo studio della derivata seconda.
A conclusione dello studio di una funzione, attraverso le informazioni raccolte, è possibile tracciare il grafico della funzione stessa sul piano cartesiano.
Comunemente, quando si parla di studio di funzione si intende l’analisi matematica di una funzione reale.
Studio di una funzione: passaggi
Esercitati a sviluppare tutti i passaggi di uno studio di funzione attraverso l’esercizio svolto dal nostro tutor nella videolezione.
Prima di iniziare, ti raccomandiamo di studiare bene tutta la teoria sulle funzioni matematiche.
I passaggi di uno studio di funzione sono:
-
- calcolo del dominio
- controllo delle simmetrie
- individuazione dell’intersezione con gli assi
- studio del segno della funzione
- calcolo dei limiti
- calcolo della derivata prima
- calcolo della derivata seconda
Se hai bisogno di ripassare, vai a Le funzioni matematiche spiegate in breve.
Come calcolare il dominio di una funzione
Quando si studia una funzione, il primo passaggio è il calcolo del dominio.
Il dominio di una funzione è l’insieme dei valori che hanno un’immagine nell’insieme di arrivo della funzione.
Quindi, calcolare il dominio di una funzione significa trovare i valori delle x per cui la funzione esiste.
Data la funzione y = (5x+2)/x
Si tratta di una funzione fratta con → D: ≠ 0 e D: (-∞;0) U (0;+∞)
Sul piano cartesiano, si traccia un cerchio vuoto attorno al punto (0;0), per indicare che la retta x=0, ovvero l’asse y, non è compreso nel dominio.
Come si calcola il dominio di una funzione
Simmetrie di una funzione
Il secondo passaggio di uno studio di una funzione consiste nell’analizzare le simmetrie di una funzione. Si tratta di capire se la funzione gode di particolari simmetrie, cioè se la funzione è:
- pari e quindi simmetrica rispetto all’asse delle y
- dispari e quindi simmetrica rispetto all’origine degli assi
Vediamo tutti i passaggi.
Una funzione è pari quando f(x) = f(-x). Verifichiamo insieme:
f(x) = (5x+2)/x
f(-x) = [5(-x)+2]/(-x) →
f(-x) = (-5x+2)/-x
Quindi f(x) ≠ f(-x). La funzione non è pari.
Una funzione è dispari quando f(x) = -f(-x). Verifichiamo insieme:
f(x) = (5x+2)/x
-f(-x) = -[(-5x+2)/-x] →
-f(-x) = (-5x+2)/x
Quindi f(x ) ≠ f(-x). La nostra funzione non è dispari.
La nostra f non è né pari né dispari. Questo significa che non è simmetrica rispetto all’asse delle y e nemmeno rispetto all’origine degli assi.
Come trovare l’intersezione degli assi di una funzione
Il passaggio successivo consiste nel trovare dove la funzione interseca gli assi. Questo passaggio è importante perché permette di iniziare a tracciare il grafico della funzione.
Per trovare l’intersezione degli assi di una funzione si fa un sistema tra la funzione e l’equazione di ciascun asse.
Vediamo come procedere nel caso della nostra funzione:
- non verifichiamo l’intersezione con l’asse delle y perché non appartiene al dominio;
- verifichiamo l’intersezione con l’asse x, di equazione y = 0
Mettiamo a sistema:
- y = 0
- y = (5x+2)/x
da cui:
(5x+2)/x = 0 →
5x+2 = 0 →
5x = -2 →
x= -2/5
Il punto A di intersezione con l’asse x ha coordinate (-2/5;0)
Come trovare l’intersezione degli assi di una funzione
Studio del segno di una funzione
Il quarto passaggio è lo studio del segno di una funzione. Si tratta di verificare se la funzione è positiva o negativa. Se positiva, la funzione si trova sopra l’asse delle x. Invece, se è negativa si posiziona sotto l’asse delle x.
Calcoliamo quando f(x) > 0.
Nel nostro caso avremo una disequazione fratta (5x+2)/x > 0, che risolviamo così.
Parte 1:
- numeratore > 0 quindi 5x+2 > 0 → 5x > -2 → x > -2/5
- denominatore > 0 quindi x > 0
Parte 2, si esegue il prodotto dei segni:
Prodotto dei segni
y > 0, si trova sopra l’asse delle x, per x < -2/5 e per x > 0
Sul nostro grafico, cancelleremo le parti per cui la funzione non passa.
Come studiare il segno di una funzione
Calcolo dei limiti
A cosa serve il calcolo dei limiti? A comprendere il comportamento di una funzione all’infinito e vicino ai punti critici del dominio.
Vediamo insieme come calcolare i limiti della nostra funzione a ±∞ e a destra e sinistra dello 0.
lim (x→ +∞) di (5x+2)/x = ∞/∞, questa è la forma indeterminata che risolviamo dividendo numeratore e denominatore per x, in questo modo:
(5x/x +2/x)/ x/x = (5+2/x)/1
lim (x→ +∞) di (5+2/x)/1 = (5+0)/1 = 5
con 2/x = 0 per qualunque numero n/∞ = 0
Per il lim (x→ -∞) di (5x+2)/x = ∞/∞ seguiamo lo stesso procedimento.
Quindi, la retta y = 5 è un asintoto orizzontale.
lim (x→ 0+) di (5x+2)/x = 2/0+ = +∞ dove 0+ vuole dire zero da destra e (2/0+ = +∞)
lim (x→ 0–) di (5x+2)/x = 2/0– = -∞ dove 0– vuole dire zero da sinistra e (2/0– = -∞)
Quindi, la retta x = 0 è un asintoto verticale.
Calcolo derivata prima
Attraverso lo studio della derivata prima di una funzione capiamo dove la funzione cresce e dove decresce e individuiamo i punti di massimo e minimo.
Vediamo come si calcola la derivata prima di una funzione.
Nel caso di una funzione fratta come la nostra, usiamo la formula:
se y = f(x)/g(x) la derivata sarà
y1 = [f1(x)·g(x) – f(x)·g1(x)] / [g(x)]2
y1= (5x – 5x – 2) / x2
y1= – 2/x2 con dominio x ≠ 0 (come nella funzione, si dice che la funzione è derivabile in ogni su punto)
Ora, calcoliamo la positività della derivata.
y1 > 0 → -2/x2 > 0
numeratore > 0 → -2 > 0 → mai
denominatore > 0 → x2 > 0 sempre
y1 è sempre negativa, quindi la funzione è sempre decrescente.
Calcolo derivata seconda
Attraverso il calcolo della derivata seconda di una funzione possiamo trovare gli intervalli in cui la funzione è concava verso l’alto, cioè quando la derivata seconda è positiva, oppure concava verso il basso, quando la derivata seconda è negativa.
In pratica, si tratta di studiare il segno della derivata seconda.
Nel nostro caso, non c’è bisogno di calcolare la derivata seconda perché la funzione è decrescente. Di conseguenza non ci potranno essere punti in cui essa cambia concavità, ovvero punti di flesso.
Il disegno della funzione
Ora abbiamo tutte le informazioni necessarie per disegnare il grafico della funzione.
Se preferisci svolgere l’esercizio sullo studio di una funzione in compagnia del nostro tutor di matematica, che ti spiegherà nel dettaglio come eseguire ogni singolo passaggio, guarda la videolezione sullo studio di una funzione reale.
Disegni nel testo del Dott. Luca Nuvoli
Immagine in evidenza di Gerd Altmann da Pixabay
