In questa lezione ti spieghiamo la logica proposizionale. La logica proposizionale può essere oggetto dei quiz di logica dei test di medicina, odontoiatria e veterinaria.
Leggi la teoria con tanti esempi e guarda la videolezione sulla logica proposizionale con alcuni esercizi svolti dalla nostra docente di logica.
Logica proposizionale
Cos’è la logica proposizionale? La logica proposizionale è un linguaggio formale che traduce le proposizioni in una struttura sintattica semplice grazie attraverso l’uso di un alfabeto specifico.
Cosa studia la logica proposizionale? La logica proposizionale è quella parte della logica matematica che studia la verità e la falsità delle proposizioni.
A cosa serve la logica proposizionale? Serve a individuare il valore di verità di una proposizione complessa a partire dal valore di verità delle proposizioni semplici connesse fra loro.
Per capire meglio la logica proposizionale e imparare a risolvere gli esercizi, a seguire ti spieghiamo cos’è una proposizione, quali sono i principi della logica proposizionale e quale alfabeto devi usare.
Definizione di proposizione
Che cos’è una proposizione? Nella logica proposizionale si utilizza questa definizione di proposizione:
una proposizione è un’affermazione di cui si può determinare senza ambiguità il valore di verità, ossia può essere o vera o falsa.
Ad esempio, “il sole è una stella” è una proposizione perché è una asserzione di cui si può predicare la verità o falsità.
Esempi di enunciati che non sono proposizioni sono “Che ore sono?” o “Torna a casa”. Infatti, nel caso delle domande e degli ordini non si può assegnare un valore di verità perché non ha senso dire che una domanda/ordine è vera o falsa.
La logica proposizionale si basa su due principi. I due principi fondamentali della logica proposizionale sono:
- il principio di non contraddizione, in base a cui una proposizione o è vera o è falsa. Ad esempio, “Maria ha la patente” o è vera o è falsa, quindi “Maria non ha la patente”, ma Maria non può sia avere la patente che non averla. Quindi, la contemporaneità delle due affermazioni non è ammessa;
- Il principio del terzo escluso, secondo cui non esiste un’alternativa al fatto che la proposizione sia vera o falsa, ossia o “Maria ha la patente” oppure “Maria non ha la patente”, non c’è una terza possibilità.
Proposizioni semplici e composte
Le proposizioni logiche sono distinte tra:
- proposizioni semplici, proposizioni il cui valore di verità dipende solamente dal fatto espresso dalla proposizione. Per esempio se oggi sta piovendo, la proposizione “Oggi piove” sarà vera, se invece non sta piovendo, “Oggi piove” sarà falsa;
- proposizione complesse, proposizioni il cui valore di verità dipende dal valore di verità delle proposizioni elementari da cui sono composte e dal modo in cui sono combinate. Ad esempio, date queste due proposizioni logiche semplici “Il cane di Silvia è nero” e “Il cane di Silvia è di taglia media” otteniamo la proposizione logica complessa “Il cane di Silvia è nero e di taglia media”.
Alfabeto della logica proposizionale
La logica proposizionale utilizza un determinato alfabeto, detto alfabeto proposizionale, formato da:
- variabili proposizionali, usate per identificare le singole proposizioni. Di solito si utilizzano le lettere maiuscole dell’alfabeto, ad esempio A, P, R, S;
- i connettivi logici, ¬ (NOT o negazione), ∧ (AND o congiunzione), ∨ (OR o disgiunzione), → (implicazione o condizionale), ↔ (doppia implicazione o bicondizionale);
- le parentesi tonde, che servono ad evitare ambiguità.
Ad esempio, A → B&C non è una proposizione perché non è chiaro se si tratta di (A → B)&C oppure di A → (B&C).
Come si legge quest’alfabeto?
- (¬P), negazione di P, si legge “non P”;
- (P ∧ S), congiunzione di P e S, si legge “P e S”;
- (P ∨ S), disgiunzione di P e S, si legge “P o S”;
- (P → S), condizionale con antecedente, si legge “se P allora S”,
- (P ↔ S), bicondizionale di P e S, si legge “P se e solo se S”.
Per ciascuna variabile proposizionale (lettera dell’alfabeto) si costruisce una tavola di verità ossia una tabella in cui per ogni proposizione sono indicati i relativi valori: vero, identificato da V o 1, e falso, identificato con F o 0.
Negazione logica
Il connettivo ¬ o not indica la negazione e si legge “not/non”. Nella logica proposizionale il “non” viene usato per negare una affermazione. Quindi, se si vuole negare P, si scrive ¬P.
Nota bene, due negazioni servono per affermare, doppia negazione: P = ¬ ¬P. Il simbolo = indica l’equivalenza logica, ossia significa che due proposizioni hanno lo stesso valore di verità (sono entrambe vere o entrambe false).
Facciamo un esempio. Se P “La terra gira intorno al Sole” è vera, allora ¬P, cioè “La terra non gira intorno al sole”, è falsa e se P è falsa, allora ¬P è vera.
La tavola di verità della negazione è:
| P | ¬P |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
Congiunzione logica
Il connettivo ∧ o and indica la congiunzione e si legge “and/e”. Nella logica proposizionale “e” viene usato per congiungere due proposizioni.
Il valore di verità della proposizione ottenuta dipende dal valore di verità delle due proposizioni. Quindi, la congiunzione è vera solo se entrambe le proposizioni sono vere. Mentre in tutti gli altri casi è falsa.
Facciamo un esempio. Consideriamo due enunciati, P “Paolo ha la pelle chiara” e S “Paolo ha gli occhi azzurri”. (P ∧ S), “Paolo ha la pelle chiara e gli occhi azzurri”, è vera solo se effettivamente le due proposizioni sono vere.
La tavola di verità della congiunzione è:
| P | S | (P ∧ S) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Disgiunzione logica
Il connettivo ∨ o or indica la disgiunzione e si legge “or/oppure”.
Il valore di verità della proposizione complessa ottenuta o disgiunzione, espressa con (P ∨ S), dipende dal valore di verità delle due proposizioni.
Nella disgiunzione logica si distinguono due casi:
- la disgiunzione inclusiva, in cui una proposizione non esclude l’altra, quindi la disgiunzione è vera anche se entrambe le proposizioni semplici sono vere;
- la disgiunzione esclusiva, indicata con xor, in cui una proposizione esclude l’altra. Quindi, la proposizione complessa è vera se e solo se una delle due proposizioni è vera.
Facciamo un esempio per caso. Consideriamo le frasi, P “Paolo sta studiando” e S “Paolo sta mangiando”. (P ∨ S), “Paolo sta studiando o sta mangiando”, è vera se almeno una delle due proposizioni è vera (a maggior ragione se lo sono entrambe), perché una non esclude l’altra e sarà quindi falsa solo se entrambi i disgiunti sono falsi.
La tavola di verità della disgiunzione inclusiva è:
| P | S | (P ∨ S) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Se invece abbiamo le frasi P “Paolo sta studiando” e S “Paolo sta giocando”, otteniamo (P ∨ S), “Paolo sta studiando o sta giocando”, ossia una disgiunzione esclusiva. La disgiunzione è vera se e solo se una delle due affermazioni è falsa e l’altra è vera.
La tavola di verità della disgiunzione esclusiva è:
| P | S | (P ∨ S) |
|---|---|---|
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Per non avere più dubbi su questo argomento di logica, vai alla videolezione con gli esercizi di logica proposizionale svolti dalla nostra docente di logica.
Video nel testo di Martina Zirattu, docente WAU
Immagine in evidenza di Chen da Pixabay
