Il principio di conservazione della quantità di moto

principio di conservazione della quantità di moto

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In questo articolo ti spieghiamo il principio di conservazione della quantità di moto, un argomento di fisica molto utile per i compiti in classe alle scuole superiori, perché grazie a questo principio e al concetto di quantità di moto si possono risolvere numerosi problemi di fisica.

Ma questo argomento è importante anche se stai studiando per i test di medicina e odontoiatria, veterinaria, professioni sanitarie.

Leggi l’articolo con la teoria e le formule e guarda il video con gli esercizi sul principio della quantità di moto svolti dalla nostra tutor di fisica.

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Principio di conservazione della quantità di moto

Qual è l’enunciato del principio di conservazione della quantità di moto?

La quantità di moto di un sistema isolato rimane costante.

Un sistema è isolato quando la risultante delle forze esterne è nulla e su di esso agiscono solo forze interne.

La formula del principio di conservazione della quantità di moto sarà data dall’equazione tra la somma delle quantità di moto iniziali e la somma delle quantità di moto finali, che sono uguali:

p1i (→) + p2i (→) = p1f (→) + p2f (→).

Prima di dimostrare il principio di conservazione della quantità di moto, è necessario ricordare alcuni concetti, quelli su quantità di moto e forze interne ed esterne a un sistema.

Quantità di moto

Cos’è la quantità di moto? Il prodotto fra la massa di un corpo e la sua velocità:

p (→) = m ∙ v (→).

Si tratta di una grandezza vettoriale (→), che ha lo stesso verso e la stessa direzione della velocità, con unità di misura espressa in [p] = [kg ∙ (m/s)].

Per approfondire il concetto di quantità di moto e imparare a svolgere correttamente gli esercizi con questa grandezza fisica, vai alla lezione La quantità di moto: cos’è, formula e impulso.

Forze interne e forze esterna ad un sistema

Premesso che un sistema è formato da più corpi che partecipano allo stesso fenomeno:

  • le forze interne sono quelle che i corpi del sistema esercitano gli uni sugli altri;
  • le forze esterne sono le forze esercitate dai corpi esterni al sistema sui corpi che fanno parte del sistema.

Facciamo un esempio per farti capire bene quali forze agiscono in un sistema. Prendiamo due palline che rotolano su un piano inclinato, una rossa e una blu. La pallina rossa, più veloce, rotola e urta la pallina blu, che sente la forza data dalla pallina rossa. Chiamiamo questa forza Fr (→). Per il terzo principio della dinamica anche la pallina rossa sentirà una forza data dalla pallina blu Fb (→).

Inoltre, sul sistema agiscono la forza di gravità di cui risentono entrambe le palline, Fg (→), e la reazione vincolare del piano, anche essa sentita da entrambe le palline, Rv (→).

Per quanto di solito la forza di gravità o la forza di attrito siano forze esterne, lo status di forza interna o esterna dipende sempre dal sistema analizzato. Ad esempio, se il nostro sistema fosse la Terra la forza di gravità sarebbe una forza interna.

Invece, nel sistema preso ad esempio sopra, le forze interne sono Fr (→) e Fb (→). Le forze esterne sono Fg (→) e Rv (→).

È importante ricordare che se in un sistema si verifica un urto, si generano sempre forze interne.

forze interne di un sistema
Le forze interne in un sistema isolato

Guarda l’immagine qui sopra per capire meglio le forze interne. Abbiamo due palle da biliardo, la 8 e la 9. La 8 viene lanciata contro la 9. Nel momento dell’urto ci saranno due forze, F1 (→) e F2 (→):

  • F1 (→) è la forza che la palla 9 esercita sulla palla 8, ossia la forza che risente la palla 8;
  • F2 (→) è la forza che la palla 8 esercita sulla palla 9, ossia la forza che risente la palla 9.

Per la terza legge della dinamica, queste forze interne sono uguali in modulo e direzione e opposte in verso: F1 (→) = -F2 (→).

Ecco cosa succede alla quantità di moto:

  1. quando la palla 8 si muove con quantità di moto p1 (→) = m1 ∙ v1 (→), la palla 9 è ferma quindi la sua quantità di moto è zero perché la velocità è 0, p2 (→) = 0;
  2. nel momento in cui la palla 8 colpisce la palla 9, quest’ultima si muove e la sua quantità di moto diventa: p2 (→) = m2 ∙ v2 (→);
  3. dopo l’urto, la palla 8 si sposta nel verso opposto a quello in cui si muove 9, con una velocità v1 diversa dalla velocità con cui ha colpito 9. Le due palle si allontanano.

Studia o ripassa i principi della dinamica.

Dimostrazione del principio di conservazione della quantità di moto

Per dimostrare il principio di conservazione della quantità di moto partiamo dal terzo principio della dinamica, secondo cui:

dato un sistema con due corpi, la forza che il corpo 1 esercita sul corpo 2 è uguale in modulo e direzione ma opposta in verso alla forza che il corpo 2 esercita sul corpo 1.

F1,2 (→) = -F2,1 (→)

Procediamo con la dimostrazione del principio:

  • moltiplichiamo questa equazione per la variazione di t, ∆t ∙ F1,2 (→) = -F2,1 (→) ∙ ∆t; come puoi vedere, il secondo termine di questa equazione è uguale all’impulso di I2, ossia alla variazione della quantità di moto del corpo 2: F1,2 (→) ∙ ∆t = I2 (→) = ∆p2 (→) = p2f (→) – p2i (→).
  • nello stesso modo in cui abbiamo espresso F1,2 possiamo scrivere F2,1: F2,1 (→) ∙ ∆t = I1 (→) = ∆p1 (→) = p1f (→) – p1i (→);
  • poiché F1,2 (→) = -F2,1 (→) allora anche p2f (→) – p2i (→) = – [p1f (→) – p1i (→)]. Non dimenticare il segno meno davanti al secondo termine perché le due forze hanno verso opposto;
  • se scambiamo l’ordine dei termini otteniamo che: p2f (→) + p1f (→) = p1i (→) + p2i (→), ossia la dimostrazione in formula del principio della quantità di moto, che si conserva e infatti la somma delle quantità di moto finali è uguale alla somma di quelle iniziali.

Conservazione della quantità di moto: casi particolari

Vediamo un caso particolare del principio di conservazione della quantità di moto, quello dell’urto anelastico: un urto è perfettamente anelastico quando dopo l’urto i due corpi rimangono completamente attaccati e procedono insieme.

In questo caso, la conservazione della quantità di moto si scrive così:

  • prima dell’urto avremo m1 ∙ v1 (→) + m2 ∙ v2 (→) con v2 = 0 perché la pallina 2 è ferma;
  • dopo l’urto le palline si muovono insieme come un solo corpo con quantità di moto vf ∙ (m1 + m2);
  • quindi in base al principio della quantità di moto m1 ∙ v1 (→) + m2 ∙ v2 (→) = vf (→) ∙ (m1 + m2) cioè vf = [m1 ∙ v1 (→) + m2 ∙ v2 (→)] / (m1 + m2).

Un altro caso particolare è quello di un razzo. Un razzo riesce a muoversi in avanti proprio perché la quantità di moto si conserva. Infatti, il razzo spara gas in verso opposto a una certa velocità, gas che ha una sua specifica massa.

Supponiamo che il razzo all’inizio sia fermo, quindi la quantità di moto del gas e del razzo saranno zero. Invece, alla fine avremo: 0 = mr ∙ vr (→) + mg ∙ vg (→). Poiché il gas viene sparato nel verso opposto e quindi ha segno negativo: mr ∙ vr (→) = mg ∙ vg (→).

Guarda anche il video con la teoria e gli esercizi sul principio di conservazione della quantità di moto.

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Immagine in evidenza di Tomaz Barcellos da Pexels

Paola Pala

Paola Pala

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