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Teorema di Gauss: come calcolare il campo elettrico

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Come calcolare il campo elettrico con il teorema di Gauss? Devi conoscere e saper applicare la formula per il calcolo del campo elettrico con il teorema di Gauss, la quale viene richiesta spesso nei compiti di fisica delle scuole superiori e nei quiz del test di medicina e odontoiatria, veterinaria e professioni sanitarie.

A seguire trovi una spiegazione semplice e breve. Inoltre, guarda il video con un esercizio sul teorema di Gauss per il campo elettrico svolto dalla nostra tutor di fisica.

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Teorema di Gauss per il campo elettrico

La legge di Gauss è la legge fondamentale per lo studio dei campi elettrici. Essa fornisce un metodo per calcolare il flusso del campo elettrico in una superficie chiusa.

Prima di darti l’enunciato del teorema di Gauss per il campo elettrico, ricordiamo in breve due concetti fondamentali, quello di campo elettrico e quello di flusso del campo elettrico.

Cos’è il campo elettrico? Il campo elettrico è il campo di forze generato da una o più cariche elettriche presenti nello spazio. Il campo elettrico è una grandezza fisica vettoriale.

Il flusso del campo elettrico è dato dall’integrale del campo elettrico su una superficie data.

Cosa afferma il teorema di Gauss? Il teorema di Gauss per il campo elettrico stabilisce che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa, detta anche superficie gaussiana, è uguale al rapporto tra la carica elettrica totale interna alla superficie, Qint, e la costante dielettrica assoluta del mezzo, εm.

Formula del teorema di Gauss

In base all’enunciato del Teorema di Gauss riportato nel paragrafo precedente, la formula del teorema di Gauss per il campo elettrico è:

Φs(E→) = Qintm

dove

  • Φs(E→) è il flusso del campo elettrico (E→) attraverso la superficie chiusa S;
  • Qint è la carica totale interna;
  • εm è la costante dielettrica assoluta del mezzo.

Quindi, per calcolare il flusso del campo elettrico basta fare la somma algebrica di tutte le cariche presenti all’interno della superficie e dividerla per la costante dielettrica assoluta del mezzo.

Come si vede dalla formula, il flusso del campo elettrico è direttamente proporzionale alla carica totale.

Dimostrazione del teorema di Gauss

Dimostrare il teorema di Gauss per il campo elettrico non è facile a meno che non si prenda in considerazione un caso semplice come quello di una carica elettrica puntiforme positiva, q+, all’interno di una superficie sferica. 

Supponiamo che la carica si trovi al centro della sfera e disti dalla superficie una distanza r, pari al raggio. Il tutto nel vuoto, per cui usiamo la costante dielettrica del vuoto, εm = ε0.

Abbiamo due vettori, il vettore campo elettrico, E(→), e il vettore superficie, S(→), con le seguenti caratteristiche:

  • il modulo di E(→) dipende solo dalla distanza fra la carica e la superficie sferica mentre il modulo di S(→) è uguale all’area della superficie sferica;
  • dato che la carica è positiva, le linee del campo elettrico escono dalla superficie della sfera. Quindi, il verso del campo elettrico è uscente. Anche il verso di S(→) è uscente in quanto si tratta di una superficie chiusa;
  • poiché la superficie è sferica, la direzione del vettore campo elettrico E(→) e del vettore superficie S(→) è radiale,
  • il vettore campo elettrico è sempre parallelo e concorde al vettore superficie.

Per dimostrare il teorema di Gauss per il campo elettrico, immaginiamo di dividere la superficie in un numero infinito di parti, S1, S2, SN. Ognuna di queste parti è una superficie piana. In ogni punto di S, il flusso è dato da tutte le linee che attraversano la superficie. Il flusso è proporzionale al numero di linee.

Dato che il flusso di un campo elettrico in una superficie piana è pari al prodotto scalare tra i vettori campo elettrico e superficie, fatto il prodotto scalare per ogni parte infinitesimale, bisogna poi sommarli per ottenere il flusso del campo elettrico attraverso tutta la superficie sferica. Quindi, avremo che:

Φ(E→) = EN ΣSN = E ∙ S.

Ma abbiamo detto che il modulo del campo elettrico è costante lungo tutta la superficie sferica e che la carica è al centro, per cui la distanza della carica dalla superficie è sempre r, quindi:

E = K0 ∙ Q/r2.

Sostituiamo la formula del campo elettrico e quella per il calcolo della superficie della sfera, S = 4πr2, e otteniamo la formula del teorema di Gauss per il campo elettrico:

Φ(E→) = 1/4πε0 ∙ Q/r2 ∙ 4πr2 = Q/ε0.

K0 è la costante di Coulomb. Per approfondire vai alla lezione sulla forza di Coulomb.

formula teorema di Gauss
Dimostrazione teorema di Gauss per il campo elettrico

Teorema di Gauss per il campo elettrico: considerazioni

Concludiamo questa spiegazione semplice su come calcolare il flusso del campo elettrico attraverso il teorema di Gauss con alcune considerazioni che ti aiuteranno a capire meglio i concetti e a risolvere i problemi:

  • dato che in molti problemi il campo elettrico è nel vuoto, la costante dielettrica assoluta del mezzo può essere sostituita con la costante dielettrica del vuoto, la quale è nota ed è pari a ε0 = 8,9 ∙ 10-12C2/N ∙ m2;
  • il flusso è positivo se le linee del campo elettrico sono uscenti mentre il flusso è negativo se le linee del campo elettrico sono entranti, è zero se le linee di campo formano un angolo di 90° con il vettore superficie;
  • per calcolare la somma algebrica delle cariche interne bisogna tenere in considerazione il segno delle cariche, positivo o negativo. Quando il campo elettrico è nullo? Quando le cariche positive sono uguali a quelle negative;
  • per poter applicare il teorema di Gauss è necessario che la superficie sia chiusa;
  • il flusso del campo elettrico dipende dalla carica totale interna alla superficie, non dipende né dalla forma della superficie né dalla posizione della carica;
  • eventuali altre cariche esterne alla superficie non vanno considerate nel calcolo del flusso del campo elettrico;
  • la formula è valida per ogni tipo di carica, non solo per le cariche puntiformi.

Hai bisogno di una spiegazione ancora più completa e semplice? Guarda la videolezione su teorema di Gauss e campo elettrico con un esercizio svolto dalla nostra tutor di fisica.

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Video e immagine nel testo di Eleonora Parlanti, tutor WAU!

Immagine in evidenza di Gerd Altmann da Pixabay

Paola Pala
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