Teorema di Pitagora: formule, dimostrazione, problema

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Il teorema di Pitagora è tra gli argomenti di geometria studiati fin dalle scuole medie.

Tutti gli studenti delle superiori e i candidati ai test di medicina, veterinaria e professioni sanitarie dovrebbero ricordarne sempre le formule.

In questo articolo trovi l’enunciato, le formule del teorema di Pitagora, la dimostrazione.

In più, guarda la videolezione con la teoria e un problema sul teorema di Pitagora svolto del nostro docente di matematica.

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Cosa dice il teorema di Pitagora

Nell’ambito della geometria euclidea, il teorema di Pitagora afferma che:

dato un triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Teorema di Pitagora formula

Innanzitutto, è importante ricordare cos’è l’ipotenusa del triangolo rettangolo: l’ipotenusa è il lato più lungo di un triangolo rettangolo, opposto all’angolo retto.

Come si calcola l’ipotenusa di un triangolo rettangolo?

Dato un triangolo rettangolo, dove A è l’ipotenusa e B e C sono i cateti, la formula dell’ipotenusa è:

A = √ B² + C²

Ossia, per calcolare l’ipotenusa bisogna estrarre la radice quadrata della somma dei quadrati dei due cateti.

Teorema di Pitagora formule inverse

Ricorda che un triangolo è detto rettangolo quando uno dei suoi tre angoli è un angolo retto, ossia misura 90°.

I cateti sono i lati del triangolo rettangolo, quelli che a un’estremità hanno in comune l’angolo retto.

Dalla formula per calcolare l’ipotenusa, è possibile ricavare con molta facilità le formule inverse del teorema di Pitagora.

Come si trovano i cateti?

B = √ A² – C²

C = √ A² – B²

Ossia, la lunghezza di un cateto è uguale alla radice quadrata della differenza tra il quadrato dell’ipotenusa e il quadrato dell’altro cateto.

Dimostrazione teorema di Pitagora

Come puoi dedurre dal nome stesso, la dimostrazione del teorema di Pitagora è opera del matematico greco Pitagora.

In verità, ci sono più modi per dimostrare il teorema di Pitagora. Il più semplice è quello geometrico, riconducibile al primo teorema di Euclide, secondo il quale:

l'area del quadrato costruito su un cateto è uguale a quella del rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione di quello stesso cateto sull’ipotenusa.

Immagina di avere un triangolo rettangolo e di costruire sulla sua ipotenusa un quadrato. Poi proietta ciascuno dei cateti sull’ipotenusa. La superficie del quadrato costruito sull’ipotenusa è data dalla somma di due rettangoli, ciascuno dei quali ha per altezza l’ipotenusa e per base la proiezione del relativo cateto sull’ipotenusa.

Quindi, l’area di ciascuno di questi due rettangoli è equivalente a quella del quadrato costruito sul rispettivo cateto che avevi proiettato sull’ipotenusa.

Da cui se:

A è l’ipotenusa

B e C i cateti

A² l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa

B² e C² l’area dei quadrati costruiti sui cateti

allora:

A²= B² + C²

B²= A² – C²

C²= A² – B²

Estraendo le radici quadrate, otterrai le formule per calcolare l’ipotenusa e i cateti viste sopra.

Per fissare meglio nella memoria il teorema di Pitagora, guarda anche la videolezione sul teorema di Pitagora con un problema svolto dal nostro docente di matematica, Luca Nuvoli.

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