I teoremi di Euclide: teoria, formule e problemi

i teoremi di Euclide

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Devi studiare o ripassare i teoremi di Euclide? I due teoremi sono tra gli argomenti più importanti di geometria perché definiscono la relazione che c’è tra i cateti, l’ipotenusa, la proiezione dei cateti sull’ipotenusa e l’altezza di un triangolo rettangolo.

Infatti, compaiono spesso nei compiti in classe e nei quiz dei test di ammissione a medicina, veterinaria e professioni sanitarie.

In questo articolo trovi la teoria, le formule sui teoremi di Euclide e la videolezione con due problemi svolti dal nostro tutor di matematica.

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Primo teorema di Euclide

Innanzitutto, è importante spiegare cosa si intende per proiezione di un cateto sull’ipotenusa. Dato il triangolo rettangolo ABC, dove BC è l’ipotenusa, traccia l’altezza del triangolo. L’altezza si interseca con l’ipotenusa nel punto H. Ricaverai due segmenti, la cui somma è pari all’ipotenusa:

  • BH = proiezione del cateto AB sull’ipotenusa
  • CH = proiezione del cateto AC sull’ipotenusa

Fatta questa premessa fondamentale, l’enunciato del primo teorema di Euclide afferma che:

in un triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito su un cateto è uguale all’area del rettangolo che ha per lati la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.

Per cui, dato il nostro triangolo rettangolo ABC, come si calcola il teorema di Euclide?

Le formule del primo teorema di Euclide sono:

AB2 = BH · BC

AC2 = CH · BC

Questa formula può anche essere espressa con una proporzione, perché ogni cateto è la media proporzionale tra la sua proiezione e l’ipotenusa. Quindi:

BC : AB = AB : BH

BC : AC = AC : CH

Quando si usa il primo teorema di Euclide? In tantissimi problemi di geometria e per la dimostrazione del teorema di Pitagora.

Studia o ripassa il teorema di Pitagora. Vai a Il teorema di Pitagora, formule e problema.

primo teorema di Euclide
Dimostrazione del primo teorema di Euclide

Secondo teorema di Euclide

L’enunciato del secondo teorema di Euclide recita:

in un triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è uguale all’area del rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

Sempre prendendo in considerazione il nostro triangolo ABC, avremo che:

AH2 = BH · CH

Anche per il secondo teorema di Euclide, si può applicare una proporzione perché l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale fra le due proiezioni.

CH : AH = AH : BH

secondo teorema di Euclide
Dimostrazione del secondo teorema di Euclide

Per approfondire meglio la teoria, guarda la videolezione del nostro tutor e svolgi insieme a lui due esercizi sui teoremi di Euclide.

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Immagini e video nel testo di Marco Ogana, tutor WAU!

Immagine in evidenza di Dids da Pexels

Paola Pala

Paola Pala

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