Devi studiare o ripassare i teoremi di Euclide? I due teoremi sono tra gli argomenti più importanti di geometria perché definiscono la relazione che c’è tra i cateti, l’ipotenusa, la proiezione dei cateti sull’ipotenusa e l’altezza di un triangolo rettangolo.
Infatti, compaiono spesso nei compiti in classe e nei quiz dei test di ammissione a medicina, veterinaria e professioni sanitarie.
In questo articolo trovi la teoria, le formule sui teoremi di Euclide e la videolezione con due problemi svolti dal nostro tutor di matematica.
Primo teorema di Euclide
Innanzitutto, è importante spiegare cosa si intende per proiezione di un cateto sull’ipotenusa. Dato il triangolo rettangolo ABC, dove BC è l’ipotenusa, traccia l’altezza del triangolo. L’altezza si interseca con l’ipotenusa nel punto H. Ricaverai due segmenti, la cui somma è pari all’ipotenusa:
- BH = proiezione del cateto AB sull’ipotenusa
- CH = proiezione del cateto AC sull’ipotenusa
Fatta questa premessa fondamentale, l’enunciato del primo teorema di Euclide afferma che:
in un triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito su un cateto è uguale all’area del rettangolo che ha per lati la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.
Per cui, dato il nostro triangolo rettangolo ABC, come si calcola il teorema di Euclide?
Le formule del primo teorema di Euclide sono:
AB2 = BH · BC
AC2 = CH · BC
Questa formula può anche essere espressa con una proporzione, perché ogni cateto è la media proporzionale tra la sua proiezione e l’ipotenusa. Quindi:
BC : AB = AB : BH
BC : AC = AC : CH
Quando si usa il primo teorema di Euclide? In tantissimi problemi di geometria e per la dimostrazione del teorema di Pitagora.
Studia o ripassa il teorema di Pitagora. Vai a Il teorema di Pitagora, formule e problema.
Secondo teorema di Euclide
L’enunciato del secondo teorema di Euclide recita:
in un triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è uguale all’area del rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Sempre prendendo in considerazione il nostro triangolo ABC, avremo che:
AH2 = BH · CH
Anche per il secondo teorema di Euclide, si può applicare una proporzione perché l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale fra le due proiezioni.
CH : AH = AH : BH
Dimostrazione del secondo teorema di Euclide
Per approfondire meglio la teoria, guarda la videolezione del nostro tutor e svolgi insieme a lui due esercizi sui teoremi di Euclide.
Immagini e video nel testo di Marco Ogana, tutor WAU!
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