La circonferenza goniometrica: teoria e video con esercizi

circonferenza goniometrica

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Nell’articolo trovi la teoria e un video sulla circonferenza goniometrica con un esercizio svolto dalla nostra tutor di matematica.

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Definizione circonferenza goniometrica

La circonferenza goniometrica è chiamata anche circonferenza trigonometrica.

Cos’è la circonferenza goniometrica?

La circonferenza goniometrica è quella circonferenza che ha raggio pari a 1 e che, posta nel piano cartesiano, ha centro nell’origine degli assi.

L’equazione della circonferenza goniometrica, che si ricava da quella di una circonferenza con centro nell’origine e raggio noto, è

x2 + y2 = 1

La circonferenza goniometrica è importante perché viene usata per definire le funzioni goniometriche e su di essa si basa l’intero programma di geometria analitica riguardante le funzioni di seno, coseno e tangente.

Come disegnare la circonferenza goniometrica

Per disegnare la circonferenza goniometrica devi tracciare un piano cartesiano. Nomina x e y rispettivamente l’asse delle ascisse e delle ordinate e chiama o, origine, il punto in cui gli assi si intersecano.

Traccia a mano o con un compasso la circonferenza goniometrica. È fondamentale che il centro della circonferenza sia nell’origine degli assi. A seguire, disegna il raggio.

Il raggio forma con l’asse x un angolo orientato. Infatti, tramite la circonferenza goniometrica è possibile disegnare qualsiasi angolo, positivo se partiamo dall’asse x e ci muoviamo in senso antiorario, negativo se giriamo in senso orario.

Non ricordi cos’è il piano cartesiano? Studia o ripassa Il piano cartesiano: cos’è e come funziona.

disegno circonferenza goniometrica
Circonferenza goniometrica nel piano cartesiano

Angoli circonferenza goniometrica

Di solito, gli angoli vengono misurati in gradi sessagesimali. Dato un angolo giro pari a 360°, un grado è la sua trecentosessantesima parte.

Gli angoli più importanti sono:

  • angolo giro = 360°
  • angolo piatto = 180°
  • angolo retto = 90°

Tuttavia, gli angoli possono essere espressi in radianti. Quanto vale un radiante? Il radiante è un angolo con centro nell’origine che descrive un arco la cui lunghezza è uguale a quella del raggio.

Per cui, se l’angolo descritto da un’intera circonferenza è pari a 2πr, allora l’angolo giro espresso in radianti sarà pari a:

360° = 2πr/r = 2π. Da cui:

  • angolo piatto = π 
  • angolo 90° = π/2

Per passare da gradi a radianti e viceversa basta usare la seguente proporzione:

α°/180 = αrad/π.

A cosa serve la circonferenza goniometrica

In base a quanto detto sopra, è chiaro che a ogni angolo compreso tra:

0° ≤ α < 360°

possiamo far corrispondere un angolo incluso tra:

0 ≤ α < 2π.

Tuttavia, poiché il radiante è un numero puro che non richiede unità di misura, grazie alla circonferenza goniometrica si possono esprimere:

  • angoli minori di 0° e maggiori di 2π. Ad esempio, se facciamo un doppio giro lungo la circonferenza avremo angoli compresi tra 720° e 1080°, ossia tra 4π e 6π;
  • angoli negativi. Basterà partire dal semiasse positivo delle x e invece che muoverci in senso antiorario, procedere in verso orario.

Circonferenza goniometrica: seno e coseno

Come già detto, la geometria analitica si basa sulla circonferenza goniometrica.

In breve, individuiamo sulla circonferenza un punto P di coordinate xP e yP. Proiettiamo l’ipotenusa sull’asse delle x, dove si incontrano nel punto T, e uniamo P con l’origine. Avremo il triangolo OPT in cui:

  • l’ipotenusa OP è il raggio e quindi OP = 1
  • l’angolo al centro è α
  • OT e PT sono i cateti

Come calcolare seno e coseno?

Il coseno di α è il rapporto tra il cateto adiacente a α e l’ipotenusa. Ossia cosα = OT/OP = OT/1 = xP, cioè la proiezione dell’ipotenusa sull’asse x.

Il seno di α è il rapporto tra il cateto opposto a α e l’ipotenusa. Ossia sinα = PT/OP = PT/1 = yP, cioè la proiezione dell’ipotenusa sull’asse y.

In base al teorema di Pitagora cos2α + sin2α =1

Infine, la tangente di α è il rapporto tra PT/OT.

Approfondisci: il teorema di Pitagora.

circonferenza seno e coseno
Disegno triangolo nella circonferenza goniometrica

Guarda anche la videolezione con un esercizio sulla circonferenza goniometrica svolto dalla nostra tutor di matematica.

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Immagini e video nel testo di Eleonora Parlanti, tutor WAU!

Immagine in evidenza di Katerina Holmes da Pexels

Paola Pala

Paola Pala

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