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Studia la circonferenza goniometrica per rispondere correttamente ai quiz di matematica.
Nell’articolo trovi la teoria e un video sulla circonferenza goniometrica con un esercizio svolto dalla nostra tutor di matematica.
Definizione circonferenza goniometrica
La circonferenza goniometrica è chiamata anche circonferenza trigonometrica.
Cos’è la circonferenza goniometrica?
La circonferenza goniometrica è quella circonferenza che ha raggio pari a 1 e che, posta nel piano cartesiano, ha centro nell’origine degli assi.
L’equazione della circonferenza goniometrica, che si ricava da quella di una circonferenza con centro nell’origine e raggio noto, è
x2 + y2 = 1
La circonferenza goniometrica è importante perché viene usata per definire le funzioni goniometriche e su di essa si basa l’intero programma di geometria analitica riguardante le funzioni di seno, coseno e tangente.
Come disegnare la circonferenza goniometrica
Per disegnare la circonferenza goniometrica devi tracciare un piano cartesiano. Nomina x e y rispettivamente l’asse delle ascisse e delle ordinate e chiama o, origine, il punto in cui gli assi si intersecano.
Traccia a mano o con un compasso la circonferenza goniometrica. È fondamentale che il centro della circonferenza sia nell’origine degli assi. A seguire, disegna il raggio.
Il raggio forma con l’asse x un angolo orientato. Infatti, tramite la circonferenza goniometrica è possibile disegnare qualsiasi angolo, positivo se partiamo dall’asse x e ci muoviamo in senso antiorario, negativo se giriamo in senso orario.
Non ricordi cos’è il piano cartesiano? Studia o ripassa Il piano cartesiano: cos’è e come funziona.
Angoli circonferenza goniometrica
Di solito, gli angoli vengono misurati in gradi sessagesimali. Dato un angolo giro pari a 360°, un grado è la sua trecentosessantesima parte.
Gli angoli più importanti sono:
- angolo giro = 360°
- angolo piatto = 180°
- angolo retto = 90°
Tuttavia, gli angoli possono essere espressi in radianti. Quanto vale un radiante? Il radiante è un angolo con centro nell’origine che descrive un arco la cui lunghezza è uguale a quella del raggio.
Per cui, se l’angolo descritto da un’intera circonferenza è pari a 2πr, allora l’angolo giro espresso in radianti sarà pari a:
360° = 2πr/r = 2π. Da cui:
- angolo piatto = π
- angolo 90° = π/2
Per passare da gradi a radianti e viceversa basta usare la seguente proporzione:
α°/180 = αrad/π.
A cosa serve la circonferenza goniometrica
In base a quanto detto sopra, è chiaro che a ogni angolo compreso tra:
0° ≤ α < 360°
possiamo far corrispondere un angolo incluso tra:
0 ≤ α < 2π.
Tuttavia, poiché il radiante è un numero puro che non richiede unità di misura, grazie alla circonferenza goniometrica si possono esprimere:
- angoli minori di 0° e maggiori di 2π. Ad esempio, se facciamo un doppio giro lungo la circonferenza avremo angoli compresi tra 720° e 1080°, ossia tra 4π e 6π;
- angoli negativi. Basterà partire dal semiasse positivo delle x e invece che muoverci in senso antiorario, procedere in verso orario.
Circonferenza goniometrica: seno e coseno
Come già detto, la geometria analitica si basa sulla circonferenza goniometrica.
In breve, individuiamo sulla circonferenza un punto P di coordinate xP e yP. Proiettiamo l’ipotenusa sull’asse delle x, dove si incontrano nel punto T, e uniamo P con l’origine. Avremo il triangolo OPT in cui:
- l’ipotenusa OP è il raggio e quindi OP = 1
- l’angolo al centro è α
- OT e PT sono i cateti
Come calcolare seno e coseno?
Il coseno di α è il rapporto tra il cateto adiacente a α e l’ipotenusa. Ossia cosα = OT/OP = OT/1 = xP, cioè la proiezione dell’ipotenusa sull’asse x.
Il seno di α è il rapporto tra il cateto opposto a α e l’ipotenusa. Ossia sinα = PT/OP = PT/1 = yP, cioè la proiezione dell’ipotenusa sull’asse y.
In base al teorema di Pitagora cos2α + sin2α =1
Infine, la tangente di α è il rapporto tra PT/OT.
Approfondisci: il teorema di Pitagora.
Guarda anche la videolezione con un esercizio sulla circonferenza goniometrica svolto dalla nostra tutor di matematica.
Immagini e video nel testo di Eleonora Parlanti, tutor WAU!
Immagine in evidenza di Katerina Holmes da Pexels
