Sei uno studente delle scuole superiori o devi partecipare ai test di ammissione?
In questo articolo troverai l’equazione dell’iperbole, la teoria e tutte le altre sue formule, un argomento molto richiesto nei compiti in classe e nei quiz di matematica del test di medicina, veterinaria e professioni sanitarie.
In più, guarda la videolezione sull’iperbole con gli esercizi svolti dal nostro tutor di matematica.
Cos’è l’iperbole
Innanzitutto, fissa nella memoria la definizione di iperbole:
in geometria analitica, l’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano in cui è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi, F1 e F2.
Ci sono vari modi in cui l’iperbole può essere posizionata sul piano cartesiano. Noi andremo a vedere i casi più semplici, che sono anche gli unici richiesti alle scuole superiori e nei test di ammissione, il cui programma di matematica coincide con quello della scuola secondaria di 2° grado:
- l’iperbole con assi di simmetria coincidenti con gli assi e centro nell’origine;
- l’iperbole con assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani, ossia l’iperbole traslata;
- in più, ti forniremo le nozioni teoriche fondamentali sull’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.
Quindi, l’iperbole è caratterizzata da due assi di simmetria perpendicolari fra loro, da simmetria assiale e centrale. Si tratta di una curva che fa parte delle sezioni coniche, come parabola ed ellisse. Infatti, si ottiene sezionando un cono con un piano parallelo al suo asse.
Non ricordi cosa sono parabola ed ellisse? Vai a La parabola: vertice, equazioni e formule e Ellisse formule ed equazione.
Elementi dell’iperbole
Prima di vedere qual è l’equazione dell’iperbole, studia quali sono gli elementi dell’iperbole, di cui poi andremo a fornirti le formule:
- rami dell’iperbole: le due curve dell’iperbole;
- assi dell’iperbole: le rette rispetto alle quali l’iperbole è divisa in due parti simmetriche. Uno dei due assi viene intersecato dall’iperbole stessa;
- asse e semiasse trasverso dell’iperbole: distanza e semidistanza tra i due rami dell’iperbole;
- vertici dell’iperbole: i punti in cui l’iperbole interseca uno dei due assi;
- centro dell’iperbole: punto di intersezione degli assi e centro di simmetria dell’iperbole stessa;
- fuochi dell’iperbole: come già visto nella definizione, sono i due punti fissi rispetto ai quali la differenza delle distanze da un punto P, appartenente all’iperbole, è costante. I fuochi si trovano sempre sull’asse intersecato dall’iperbole;
- distanza e semidistanza focale: distanza e semidistanza tra i due fuochi;
- asintoti dell’iperbole: le rette passanti per il centro dell’iperbole a cui si approssimano i rami dell’iperbole all’infinito;
- eccentricità dell’iperbole: questo un valore ci dice quanto l’iperbole è schiacciata rispetto agli assi.
Qual è l’equazione di un’iperbole
Ecco qual è l’equazione di un’iperbole i cui assi coincidono con gli assi cartesiani e il centro è nell’origine, anche detta equazione canonica di un’iperbole riferita ai propri assi.
I casi possono essere due:
- l’iperbole interseca l’asse delle x
- l’iperbole interseca l’asse delle y
Nel primo caso, l’equazione è:
(x2/a2) – (y2/b2) = 1 dove a ≠ 0 e b ≠ 0
Nel secondo caso è:
(x2/a2) – (y2/b2) = -1 dove a ≠ 0 e b ≠ 0
Come puoi notare è un’equazione di 2° grado ed è valida solo se i coefficienti sono diversi da zero.
Formule dell’iperbole
A seguire trovi le principali formule dell’iperbole riferite ai vari elementi dell’iperbole di cui abbiamo fornito le definizioni poco sopra.
Assi e semiassi dell’iperbole
La misura degli assi e dei semiassi dell’iperbole è data dalla radice dei denominatori presenti nell’equazione:
- a = semiasse orizzontale
- b = semiasse verticale
- 2a = asse orizzontale
- 2b = asse verticale
L’asse trasverso è l’asse che congiunge i due vertici:
- se l’iperbole interseca l’asse delle x, il semiasse trasverso è orizzontale e misura a;
- se l’iperbole interseca l’asse delle y, il semiasse trasverso è verticale e misura b.
Vertici dell’iperbole
Se l’iperbole interseca l’asse x e ha centro nell’origine, i vertici si trovano sull’asse delle ascisse e hanno coordinate:
V1 (-a;0) ; V2 (a;0)
Nel caso dell’iperbole che interseca l’asse y, le coordinate dei vertici saranno:
V1 (0;-b) ; V2 (0;+b)
Fuochi dell’iperbole
Come già detto, i fuochi dell’iperbole si trovano sull’asse intersecato dall’iperbole stessa. Pertanto, le coordinate dei fuochi dell’iperbole sono:
- F1 = (-c;0) ; F2 (+c;0) dove c = √a2 + b2 per iperbole che interseca asse ascisse;
- F1 = (0;-c) ; F2 (0;+c) dove c = √a2 + b2 per iperbole che interseca asse ordinate.
Semidistanza focale
La formula per il calcolo della semidistanza focale è identica in entrambi i casi.
Ricordato che l’asse focale è la retta che unisce i due fuochi, e che quindi la semidistanza sarà la sua metà, la formula è:
c = √a2 + b2
Asintoti dell’iperbole
Anche gli asintoti si calcolano nello stesso modo, sia che l’iperbole intersechi l’asse x o quello y.
L’equazione per il calcolo degli asintoti è:
y = ±(b/a) · x
Eccentricità dell’iperbole
Infine, la formula dell’eccentricità dell’iperbole ossia la misura della sua deformazione.
Più esattamente, l’eccentricità è il rapporto tra la semidistanza focale e il semiasse traverso. Per cui,
- se l’iperbole interseca x, e = c/a
- se l’iperbole interseca y, e = c/b
Più questo rapporto tende a 1, più l’iperbole sarà schiacciata rispettivamente sull’asse dell’x o delle y. Al contrario, al crescere di e, l’iperbole si avvicina all’asse delle y o delle x.
Equazione dell’iperbole traslata
Ora passiamo al caso successivo, quello di un’iperbole traslata. La definizione di iperbole traslata è:
un’iperbole è traslata quando i suoi assi sono paralleli agli assi cartesiani, interseca l’asse x o l’asse y e il suo centro C non coincide con l’origine.
L’equazione di un’iperbole traslata che interseca l’asse delle ordinate è:
(x-xC)2/a2 – (y–yC)2/b2 = 1
L’equazione di un’iperbole traslata che interseca l’asse delle ascisse è:
(x-xC)2/a2 – (y–yC)2/b2 = -1
Formule dell’iperbole traslata
Le formule dell’iperbole traslata per il calcolo della semidistanza focale e dell’eccentricità sono le stesse di quelle dell’iperbole con assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani e centro nell’origine.
Invece, a cambiare di poco sono le formule dei vertici, dei fuochi e degli asintoti.
I vertici e fuochi dell’iperbole traslata che interseca x sono:
- V1 (xC-a; yc) ; V2 (xC+a; yc)
- F1 (xC -c; yC) ; F2 (xC+c; yC)
I vertici e fuochi dell’iperbole traslata che interseca y sono:
- V1 (xC; yC-b) ; V2 (xC; yC+b)
- F1 (xc; yc -c) ; F2 (xc; yc +c)
Infine, l’equazione degli asintoti di un’iperbole traslata, derivata da quella di una retta passente per un punto, è:
(y–yC) = ±(b/a) · (x–xC).
Iperbole equilatera
Il caso di un’iperbole equilatera è quello di un’iperbole in cui a=b, ossia i semiassi hanno la stessa lunghezza, gli asintoti sono perpendicolari, i coefficienti angolari sono m = ±1.
Ovviamente l’iperbole equilatera non interseca gli assi ma il suo centro coincide con quello degli assi.
Per cui, l’equazione di un’iperbole equilatera riferita ai propri asintoti è:
xy = K con K ≠ 0
Gli assi di simmetria sono le due bisettrici dei quattro quadranti:
- se k>0 l’iperbole interseca la bisettrice del primo-terzo quadrante;
- se k <0 l’iperbole interseca la bisettrice del secondo-quarto quadrante.
Guarda la videolezione per capire meglio la teoria, l’equazione dell’iperbole e per gli esercizi sull’iperbole, svolti dal nostro tutor di matematica.
Video e immagini nel testo di Marco Ogana, tutor WAU!
Immagine in evidenza di Juliane Thomaz da Pixabay
