Cos’è la parabola, equazione e formule

la parabola

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La parabola è tra gli argomenti più richiesti dagli studenti che cercano ripetizioni online o devono sostenere esami e test di selezione.

In questo articolo andremo a rivedere i concetti fondamentali sulla parabola attraverso disegni e video molto utili. Ripasseremo cos’è la parabola e quali sono le sue caratteristiche. Inoltre, vedremo l’equazione e le formule. Spiegheremo come si disegna la parabola nel piano cartesiano e come calcolare vertice e fuoco della parabola.

In più, abbiamo preparato una videolezione sulla parabola con lo svolgimento passaggio per passaggio di un esercizio.

Vai subito alla videolezione sulla parabola.

La parabola

Che cos’è una parabola

La più semplice e usata definizione di parabola è:

il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta d, detta direttrice, e da un punto fisso F, detto fuoco.

La parabola è una figura piana. Come l’ellisse e l’iperbole è una sezione conica.

La parabola ha quattro elementi caratteristici:

  • la direttrice della parabola, la retta che rispetto al fuoco mantiene la stessa distanza per ogni punto della parabola stessa;
  • il fuoco della parabola, il punto che rispetto alla direttrice mantiene la stessa distanza da ogni punto della parabola;
  • il vertice della parabola, il punto in cui la parabola si interseca con l’asse di simmetria;
  • l’asse di simmetria della parabola, la retta che divide in due parti uguali la parabola.

Come disegnare una parabola

Per disegnare una parabola nel piano cartesiano si fa riferimento al teorema secondo cui per tre punti distinti passa una sola parabola.

Ecco come disegnare la parabola:

  1. studia l’equazione della parabola per capire qual è il suo verso e se è una parabola con asse di simmetria verticale o orizzontale;
  2. trova le coordinate del vertice della parabola;
  3. traccia sul piano l’asse di simmetria, dato il vertice;
  4. trova le coordinate di due punti distinti e opposti all’asse di simmetria;
  5. unisci punti e vertice e avrai disegnato la parabola.

Studia o ripassa il piano cartesiano. Vai a Il piano cartesiano: cos’è e come funziona.

Come disegnare una parabola
Disegno parabola per due punti equidistanti dal vertice

Equazione della parabola

Studiamo ora l’equazione di una parabola con asse di simmetria verticale, solitamente usata in forma esplicita.

Per trovare l’equazione della parabola si parte dalla condizione secondo cui P, punto del piano cartesiano, appartiene alla parabola se le sue coordinate cartesiane soddisfano l’equazione della parabola.

L’equazione della parabola con asse di simmetria verticale è un’equazione di secondo grado nelle incognite (x;y) con tre coefficienti numerici a, b, c.

y=ax2+bx+c

I coefficienti della parabola

Il segno del coefficiente a determina:

  • se a>0, la concavità è verso l’alto, o verso la direzione positiva delle ascisse nel caso di una parabola con asse di simmetria orizzontale;
  • se a<0, la concavità è verso il basso, o verso la direzione negativa delle ascisse nel caso di una parabola con asse di simmetria orizzontale;
  • se a=0, la parabola diventa una retta
Che cos’è la parabola
Differenze di segno del coefficiente a
equazione parabola
Differenze di valore del coefficiente a

Il coefficiente b indica la posizione dell’asse della parabola, che ha equazione x= -b/2a

formule parabola
Il coefficiente b fa traslare l’asse di simmetria lungo l’asse x.

Infine, il coefficiente c è il termine noto dell’equazione della parabola. c determina il punto di intersezione della parabola con l’asse delle ordinate.

Se c è nullo, la parabola passa per l’origine degli assi.

esercizi parabola
Il termine noto c indica dove la parabola interseca l’asse delle y e fa traslare la parabola lungo l’asse delle y.

Come trovare il vertice di una parabola

Come già visto, il vertice di una parabola è il punto di intersezione tra la parabola e l’asse di simmetria.

La formula per trovare le coordinate del vertice di una parabola con asse di simmetria verticale è, a partire dall’equazione della parabola:

V = (-Δ/4a; -b/2a) con Δ = b2 -4ac

Come si calcola il fuoco di una parabola

Invece, il fuoco di una parabola è il punto che in relazione alla direttrice rispetta la stessa distanza da ogni punto della parabola;

Sempre a partire dall’equazione di una parabola con asse di simmetria verticale, le coordinate di F sono:

F [-b/2a; (1-Δ)/4a]  con Δ = b2 -4ac

Come si calcola il fuoco di una parabola
Fuoco e direttrice di una parabola

Dopo aver studiato o ripassato le definizioni e le formule sulla parabola, guarda la videolezione sulla parabola con la correzione di un esercizio sulla traslazione di una parabola generica.

formula vertice parabola
Traslazione di una parabola generica per variazione del coefficiente b e c (a dev’essere sempre diverso da zero affinché il luogo geometrico sia una parabola).

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Disegni nel testo del Dott. Luca Nuvoli

Immagine in evidenza Gerd Altmann da Pixabay

Paola Pala

Paola Pala

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