La legge oraria del moto armonico

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Hai ben chiara la legge oraria del moto armonico?

Se hai dubbi e domande, in questo articolo trovi una spiegazione breve ma completa del moto armonico, molto richiesto per i compiti in classe e le interrogazioni nelle scuole superiori e nei quiz di fisica dei test di ammissione a medicina, veterinaria e professioni sanitarie.

Ovviamente, prima di spiegare la legge oraria, dovremo ricapitolare velocemente cos’è il moto armonico. Capito questo, sarai pronto per tutte le formule su pulsazione, periodo, frequenza, velocità e accelerazione nel moto orario.

In più, trovi alcuni esercizi sul moto armonico svolti passaggio dopo passaggio dal tutor di fisica WAU! nella videolezione sul moto armonico.

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Moto armonico: definizione

Partiamo dalla domanda più semplice: che cos’è il moto armonico?

Dato un punto P che si muove di moto circolare uniforme, il moto armonico è il movimento di un altro punto Q, che è la proiezione di P, che si muove lungo una retta.

Quindi, il moto armonico è un tipo di moto rettilineo, per studiare il quale i fisici hanno scomposto il moto di P lungo un’ipotetica circonferenza, proiettandolo su un determinato asse su cui si muove Q.

Non sai o non ricordi la definizione di moto rettilineo e delle sue leggi orarie? Leggi Moto rettilineo: leggi orarie, formule, esercizi. Nell’articolo trovi la videolezione sul moto rettilineo uniforme con alcuni esercizi svolti dal tutor di fisica.

Non è ancora chiaro cosa sia il moto armonico? Continua a leggere per capire bene la definizione di moto armonico, spesso abbreviato MA, spiegata attraverso il modello del moto armonico.

Data una circonferenza, ipotizziamo di seguire il moto di un punto P che si muove di moto circolare uniforme. Il punto P parte da un punto A e procede in senso antiorario.

A seguire, individuiamo un punto Q che rappresenta la proiezione di P lungo l’asse delle ascisse, e si muove lungo questo asse rimanendo sempre interno alla circonferenza stessa. Mentre P compie un giro completo della circonferenza, Q scorre lungo il diametro individuato sull’asse delle ascisse.

Analizziamo il moto del punto Q, dipendente da quello di P. Ovviamente, poiché Q è proiezione di P, i punti coincidono quando P si trova in A e la loro velocità è pari a zero.

moto armonico formule
Rappresentazione grafica del moto armonico

Per capire come il punto Q si muove al variare di P, ci serviremo della trigonometria attraverso cui possiamo descrivere diverse grandezze relative al moto di Q.

Infatti, possiamo intuire che per raggiungere il centro del diametro (e della circonferenza) Q subisce un’accelerazione, fino a raggiungere una velocità massima nel centro stesso, dove la velocità di P e Q sono uguali.

Quando invece il punto P inizia a descrivere, rispetto alla sua posizione iniziale, un angolo maggiore di 90°, la velocità di Q diminuisce fino a tornare nulla dove P descrive un angolo interno alla circonferenza di 180°.

ampiezza moto armonico
Disegno degli angoli nel moto armonico

La legge oraria del moto armonico

La legge oraria del moto armonico è una legge sinusoidale perché la variabile x varia in funzione del coseno (o seno) del tempo.

La legge oraria del moto armonico è:

x(t) = r cos(ωt), dove:

  • x è la posizione di Q rispetto al centro della circonferenza all’istante t;
  • r è il raggio della circonferenza;
  • ω è la velocità angolare del punto P detta anche pulsazione.

r, il raggio dell’ipotetica circonferenza lungo cui si muove P, è anche definibile come A, ampiezza del moto armonico, il massimo spostamento di Q.

Inoltre, devi ricordare che il moto armonico è ricavato dal moto circolare uniforme, che è il moto con cui P si muove lungo la circonferenza. ω nel moto circolare uniforme indica la velocità angolare. Nel moto armonico indica anche la pulsazione.

La pulsazione nel moto armonico è una grandezza che dipende dal periodo e dalla frequenza, di cui trovi definizioni e formule qua sotto. La pulsazione è espressa in rad/s (radianti al secondo) ed è:

  • inversamente proporzionale al periodo
  • direttamente proporzionale alla frequenza

Per cui, le formule della pulsazione sono:

  • ω = 2π/T
  • ω = 2πƒ

Moto armonico: formule

Ecco le altre formule del moto armonico con le relative definizioni di periodo, frequenza, velocità e accelerazione.

Frequenza e periodo: formula

Il periodo T del moto armonico è il tempo che il punto Q impiega per compiere un’oscillazione completa ossia per tornare al punto A con la velocità iniziale.

Infatti, il moto armonico è un moto oscillatorio.

La formula del periodo è T = 1/ƒ, dove ƒ è la frequenza.

La frequenza del moto armonico è il numero di oscillazioni completate da Q in un secondo.

La formula della frequenza è ƒ= 1/T

Velocità e accelerazione nel moto armonico

A inizio articolo abbiamo detto che il moto armonico è un tipo particolare di moto rettilineo, perché il punto Q si muove lungo una retta, il diametro della circonferenza.

Quindi, anche nel moto armonico parliamo di velocità e accelerazione, già citate. Ma la differenza tra il moto armonico e quello rettilineo uniforme e uniformemente accelerato, è che velocità e accelerazione cambiano costantemente.

v = -ωr sin(ωt)

a = – ω2r cos(ωt)

Nel moto armonico, la velocità è massima al centro del diametro e pari a zero quando il diametro interseca la circonferenza. Per l’accelerazione vale l’opposto. L’accelerazione nel moto armonico è massima nei punti di intersezione e nulla al centro del diametro:

vmax = ωr

amax = ω2r

Esercizi moto armonico

Il punto C si muove con moto armonico. L’ampiezza del moto è di 50 cm e in un minuto compie 360 oscillazioni. Qual è l’accelerazione del punto C agli estremi?

Dati del problema

  • A, ampiezza = 50 cm
  • oscillazioni al minuto = 360

Incognite da trovare: accelerazione del punto C agli estremi.

In base alla teoria vista sopra, sai che nel moto armonico l’accelerazione è massima agli estremi, dove il diametro interseca la circonferenza. La formula dell’accelerazione è a = ω2r. Per cui devi trovare ω e r.

L’ampiezza A corrisponde al raggio. Facciamo un’equivalenza da cm a m: 50 cm = 0,5 m. Per cui r = 0,5 m.

ω, la pulsazione è funzione della frequenza: ω = 2πƒ.

Poiché la frequenza è data dalle oscillazioni in un secondo, se il punto C compie 360 oscillazioni al minuto, in un secondo ne compirà: 360/60 = 6.

Quindi la pulsazione è:

ω = 2πƒ = 2π6 = 2 · 3,14 · 6 = 37,68 rad/s.

Ora che hai trovato la pulsazione e conosci il raggio, puoi calcolare l’accelerazione agli estremi:

a = ω2r = (37,68)2 · 0,5 = 709,9 m/s2.

L’accelerazione del punto C agli estremi è 709,9 m/s2.

Non ricordi come si fanno le equivalenze? Leggi: Le equivalenze e le unità di misura.

Vuoi altri esercizi come questo spiegati in ogni passaggio? Guarda la videolezione sul moto armonico.

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Immagine in evidenza di Karolina Grabowska da Pexels

Paola Pala

Paola Pala

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