In questa lezione di geometria parliamo di solidi geometrici. Le formule sui solidi geometrici sono fondamentali per risolvere molti problemi e sono richieste nei compiti in classe delle scuole superiori e nei quiz del test di medicina e odontoiatria, veterinaria e professioni sanitarie.
Continua a leggere per capire bene cosa sono i solidi geometrici, la differenza tra solidi geometrici e figure piane, come classificare i solidi geometrici e le formule dei solidi geometrici più comuni.
In più, guarda il video sui solidi geometrici con un esercizio svolto dal nostro tutor di matematica e geometria.
Solidi geometrici
La definizione di solidi geometrici, anche chiamati figure geometriche solide o semplicemente solidi, è:
i solidi sono figure geometriche formate da punti giacenti in uno spazio tridimensionale e caratterizzate da 3 dimensioni, lunghezza, larghezza e profondità.
Pertanto, ogni forma geometrica solida ha un suo volume. Se la immaginassimo nello spazio, all’asse x e y dovremmo aggiungere l’asse z. L’asse z è l’asse della profondità, x e y quelli della larghezza e dell’altezza.
Questa è anche la differenza tra figure piane e figure solide, tra geometria piana e geometria solida. Infatti, una figura piana possiede solo altezza e larghezza ed è rappresentabile su un piano cartesiano avente due soli assi, x e y.
Quali sono i solidi geometrici
Come si dividono i solidi geometrici? I solidi geometrici sono classificabili in 3 categorie:
- solidi irregolari, i poliedri con una forma mista che presentano superficie poligonali e curve, non collocabili nelle successive categorie;
- solidi di rotazione, le figure che sono il risultato della rotazione di una figura piana, ad esempio cerchi e parabole, e che hanno almeno una superfice curva. La sfera è un solido di rotazione;
- prismi e piramidi, i poliedri che hanno per facce figure piane che giacciono su piani distinti.
La differenza tra prismi e piramidi è che:
- i prismi hanno per base due figure piane, uguali fra loro, che possono essere regolari o irregolari, e per superficie laterale un numero di parallelogrammi pari ai lati delle basi;
- le piramidi hanno una sola base formata da una figura piana, regolare o irregolare, e superficie laterale costituita da tanti triangoli quanti sono i lati della base. Tutti i triangoli hanno lo stesso vertice.
Parti di un solido geometrico
Che cos’è un solido geometrico? Per rispondere al meglio a questa domanda è utile conoscere le proprietà dei solidi e le parti che lo compongono.
Come già visto, la proprietà principale dei solidi è la profondità. Questa caratteristica permette di distinguerlo dalle figure piane.
Ti facciamo notare che c’è una corrispondenza tra le parti di una figura piana e quelle di un solido. Infatti, l’equivalente dell’area di un solido è il volume e l’equivalente del suo perimetro è la superficie, intese rispettivamente come l’insieme di punti che lo costituiscono nello spazio e di quelli che lo delimitano rispetto allo spazio stesso.
Le parti di un solido geometrico sono:
- faccia, ciascun poligono che delimita il solido;
- spigolo, i segmenti che rappresentano i lati di ogni faccia;
- vertice, il punto in comune ad almeno 3 facce ossia il punto formato dall’intersezione di almeno 3 spigoli;
- superficie laterale, l’insieme delle facce, escluse le basi, che delimitano il solido nello spazio;
- superficie totale, l’insieme delle facce, incluse le basi, cioè tutti i punti che circoscrivono il solido nello spazio tridimensionale;
- volume, tutti i punti inclusi nello spazio occupato dal solido;
- angolo diedro, l’angolo tridimensionale compreso tra due facce che hanno uno spigolo in comune;
- angoloide, porzione di spazio delimitata da minimo 3 o più facce che convergono nello stesso vertice. La sua misura è pari alla somma di tutti gli angoli al vertice.
Formule geometria solida
Come risolvere i problemi di geometria solida? Innanzitutto, per risolvere correttamente un problema di geometria che riguarda una figura geometrica solida devi conoscere le formule.
Ecco la tabella con le formule dei solidi più comuni e che più spesso compaiono nei quiz di geometria e nei compiti in classe.
| Solido geometrico | Formule |
|---|---|
| Prisma | 1Volume V = Sb⋅ h 2Superficie di base Sb = V / h Superficie laterale Slat = Stot – 2Sb Superficie totale Stot = Slat + 2Sb |
| Prisma retto | 3Superficie laterale Slat = pb ⋅ h Altezza h = Slat / pb Perimetro di base pb = Slat / h |
| Cubo | 4Volume V = L3 Superficie di base Sb = L2 Superficie laterale Slat = 4L2 Superficie totale Stot = Slat + 2Sb = 6L2 Diagonale d = L√3 |
| Piramide retta | Volume V = (Sb ⋅ h) / 3 Superficie di base Sb = dipende dal poligono di base della piramide 5Superficie laterale Slat = (pb ⋅ h) / 2 Superficie totale Stot = Slat + Sb 6Apotema a = √(r2 + h2) |
| Sfera | 7Volume V = 4/3(πr3) Superficie totale Stot = 4πr2 |
| Cilindro | Volume V = πr2 ⋅ h Superficie laterale Slat = 2πrh Superficie di base Sb = πr2 Superficie totale Stot = Slat + 2Sb = 2πr ⋅ (r + h) |
| Cono | Volume V = (πr2 ⋅ h) / 3 Superficie di base Sb = πr2 Superficie laterale Slat = πr ⋅ a Superficie totale Stot = Slat + Sb = πr (a + r) Apotema a = √(r2 +h2) |
1Queste formule si riferiscono a un prisma regolare.
2In questa formula la superficie di base è calcolata a partire dal volume. Se il volume del prisma non è dato, la formula dipende dal tipo di poligono che c’è alla base.
3pb è il perimetro di base.
4L è il lato del cubo.
5pb è il perimetro di base e dipende dal poligono di base della piramide.
6L’apotema di una piramide retta è l’altezza dei triangoli ossia l’altezza delle facce che formano la superficie laterale della piramide.
7r è il raggio della sfera.
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Video nel testo di Marco Ogana, tutor WAU!
Immagine in evidenza di OpenClipart-Vectors da Pixabay
